数学1 二次関数 問題 22 解説

方針・初手

放物線の方程式を平方完成して、移動前の頂点の座標を求める。その後、$y$ 軸方向へ $p$ だけ平行移動したときの頂点の $y$ 座標を $p$ を用いて表し、それが $-61$ に等しいという方程式を立てて解く。

解法1

与えられた放物線の方程式 $y = x^2 + 2x - 48$ を平方完成する。

$$ y = (x + 1)^2 - 1^2 - 48 $$

$$ y = (x + 1)^2 - 49 $$

よって、移動前の放物線の頂点の座標は $(-1, -49)$ である。

この放物線を $y$ 軸方向へ $p$ 平行移動させると、頂点の $x$ 座標は変化せず、$y$ 座標は $p$ だけ増加する。 したがって、移動後の放物線の頂点の座標は $(-1, -49 + p)$ となる。

問題の条件より、移動後の頂点の $y$ 座標が $-61$ であるから、

$$ -49 + p = -61 $$

これを解いて、

$$ p = -12 $$

解法2

平行移動後の放物線の方程式を求めてから平方完成する。

放物線 $y = x^2 + 2x - 48$ を $y$ 軸方向へ $p$ 平行移動させた放物線の方程式は、$y$ を $y - p$ に置き換えて、

$$ y - p = x^2 + 2x - 48 $$

すなわち、

$$ y = x^2 + 2x - 48 + p $$

と表される。これを平方完成すると、

$$ y = (x + 1)^2 - 1^2 - 48 + p $$

$$ y = (x + 1)^2 - 49 + p $$

よって、移動後の放物線の頂点の $y$ 座標は $-49 + p$ である。

これが $-61$ になるので、

$$ -49 + p = -61 $$

ゆえに、

$$ p = -12 $$

解説

2次関数のグラフの平行移動に関する基本的な問題である。グラフ全体を平行移動させることは、グラフ上のすべての点を同じように平行移動させることと同じであるため、特徴的な点である「頂点」に注目して点の移動として捉えるのが最も簡明である。解法2のように、数式の $y$ を $y - p$ に置き換えて式全体を操作してから頂点を求めても、この程度の問題であれば手間はほとんど変わらない。

答え

$p = -12$