数学1 二次関数 問題 23 解説

方針・初手

グラフの平行移動の基本公式を用いる。関数 $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動したグラフの方程式は、$y - q = f(x - p)$ で与えられる。

解法1

与えられた放物線の方程式 $y = 2x^2 - 3x + 4$ において、$x$ を $x - 2$ に、$y$ を $y - (-10)$ すなわち $y + 10$ に置き換える。

$$ y + 10 = 2(x - 2)^2 - 3(x - 2) + 4 $$

右辺を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} y + 10 &= 2(x^2 - 4x + 4) - 3x + 6 + 4 \\ y + 10 &= 2x^2 - 8x + 8 - 3x + 10 \\ y &= 2x^2 - 11x + 8 \end{aligned} $$

解法2

放物線の頂点を求めてから平行移動を行う。 与式を平方完成する。

$$ \begin{aligned} y &= 2x^2 - 3x + 4 \\ &= 2\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right) + 4 \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 4 \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} + \frac{32}{8} \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{23}{8} \end{aligned} $$

よって、元の放物線の頂点の座標は $\left(\frac{3}{4}, \frac{23}{8}\right)$ である。 これを $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-10$ 平行移動した点の座標は、

$$ \left(\frac{3}{4} + 2, \frac{23}{8} - 10\right) = \left(\frac{11}{4}, -\frac{57}{8}\right) $$

となる。

移動後の放物線は、頂点が $\left(\frac{11}{4}, -\frac{57}{8}\right)$ であり、$x^2$ の係数は元の放物線と同じ $2$ であるから、その方程式は以下のようになる。

$$ y = 2\left(x - \frac{11}{4}\right)^2 - \frac{57}{8} $$

これを展開して整理する。

$$ \begin{aligned} y &= 2\left(x^2 - \frac{11}{2}x + \frac{121}{16}\right) - \frac{57}{8} \\ &= 2x^2 - 11x + \frac{121}{8} - \frac{57}{8} \\ &= 2x^2 - 11x + \frac{64}{8} \\ &= 2x^2 - 11x + 8 \end{aligned} $$

解説

関数 $y = f(x)$ のグラフの平行移動は、$x \to x - p$、$y \to y - q$ の置き換えで行うのが最も基本であり、計算ミスも少なく済む（解法1）。

放物線に特化した方法として、頂点の座標を求めてから平行移動する方法（解法2）もあるが、本問のように平方完成で分数が現れる場合は計算が煩雑になるため、式の置き換えによる解法を選択するのが賢明である。

答え

$2x^2 - 11x + 8$