トップ› 基礎問題› 数学1› 二次関数› 二次関数› 問題 24

数学1 二次関数問題 24 解説

方針・初手

2次関数のグラフの平行移動および対称移動を考える問題である。 2次関数の移動は、グラフの形状を変えずに頂点の位置を変える操作（平行移動）と、グラフの向きを反転させつつ位置を変える操作（対称移動）に分けられる。扱いやすい頂点の座標に着目して移動を追跡する方法と、方程式の $x, y$ を直接置き換えて移動後の関数を求め、係数比較をする方法がある。

解法1

移動前と移動後の放物線の頂点の座標をそれぞれ求め、移動の過程を追う。

移動前の放物線の方程式を変形すると、

$$ y = x^2+2x+3 = (x+1)^2+2 $$

となるため、その頂点の座標は $(-1, 2)$ である。

次に、移動後の放物線の方程式を変形すると、

$$ \begin{aligned} y &= (1-x)(2+x) \\ &= -x^2-x+2 \\ &= -\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 2 \\ &= -\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} \end{aligned} $$

となるため、その頂点の座標は $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ である。

問題文の操作に従い、移動前の頂点 $(-1, 2)$ を $x$ 軸の正の方向にア、$y$ 軸の正の方向にイだけ平行移動すると、頂点の座標は

$$ (-1+ア, 2+イ) $$

となる。

さらにこの点を $x$ 軸に関して対称移動すると、$y$ 座標の符号が反転するため、頂点の座標は

$$ (-1+ア, -(2+イ)) $$

となる。

この座標が移動後の頂点 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ と一致しなければならない。各座標を比較して方程式を立てる。

$x$ 座標について、

$$ -1+ア = -\frac{1}{2} $$

これを解いて、

$$ ア = \frac{1}{2} $$

$y$ 座標について、

$$ -(2+イ) = \frac{9}{4} $$

これを解いて、

$$ \begin{aligned} 2+イ &= -\frac{9}{4} \\ イ &= -\frac{17}{4} \end{aligned} $$

解法2

放物線の方程式そのものの移動を考える。 $x$ 軸の正の方向にア、$y$ 軸の正の方向にイだけ平行移動することは、方程式の $x$ を $x-ア$、$y$ を $y-イ$ に置き換えることに相当する。

元の放物線 $y = x^2+2x+3$ を平行移動した後の放物線の方程式は、

$$ y-イ = (x-ア)^2 + 2(x-ア) + 3 $$

整理して、

$$ y = x^2 - 2(ア-1)x + ア^2 - 2ア + 3 + イ $$

これを $x$ 軸に関して対称移動することは、$y$ を $-y$ に置き換えることに相当するため、

$$ -y = x^2 - 2(ア-1)x + ア^2 - 2ア + 3 + イ $$

$$ y = -x^2 + 2(ア-1)x - (ア^2 - 2ア + 3 + イ) $$

これが移動後の放物線 $y = (1-x)(2+x) = -x^2-x+2$ と一致する。係数を比較して、

$$ \begin{cases} 2(ア-1) = -1 \\ -(ア^2 - 2ア + 3 + イ) = 2 \end{cases} $$

第1式より、

$$ ア-1 = -\frac{1}{2} $$

$$ ア = \frac{1}{2} $$

これを第2式に代入して、

$$ -\left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) + 3 + イ \right) = 2 $$

$$ -\left( \frac{1}{4} - 1 + 3 + イ \right) = 2 $$

$$ -\left( \frac{9}{4} + イ \right) = 2 $$

$$ \frac{9}{4} + イ = -2 $$

$$ イ = -2 - \frac{9}{4} = -\frac{17}{4} $$

解説

2次関数のグラフの移動は、頂点の移動に着目する（解法1）のが最も計算ミスが少なく簡明なことが多い。特に対称移動が絡む場合、数式全体を扱うと符号の処理が煩雑になるため、頂点のみを追跡する方法を優先的に検討したい。解法2のように方程式の変数変換を利用する方法は、任意の関数に適用できる汎用的なアプローチである。平行移動では $x \to x-p, y \to y-q$、$x$ 軸対称移動では $y \to -y$ と置き換える基本操作を確実に押さえておく。