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数学1 二次関数問題 26 解説

方針・初手

与えられた2次関数を平方完成し、頂点の座標を求める。グラフの平行移動については、求めた頂点を移動させてから改めて2次関数を構成する方法と、元の関数式の $x$ と $y$ をそれぞれ $x-p$、$y-q$ に置き換える方法の2通りが考えられる。

解法1

与えられた放物線の方程式 $y = 2x^2 - 6x + 7$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} y &= 2\left(x^2 - 3x\right) + 7 \\ &= 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 7 \\ &= 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + \frac{14}{2} \\ &= 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{5}{2} \end{aligned} $$

したがって、この放物線の頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ である。

次に、この放物線を $x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $+2$ だけ平行移動させる。頂点 $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ を同様に移動させると、新しい頂点の座標は以下のようになる。

$$ \left(\frac{3}{2} - 1, \frac{5}{2} + 2\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{9}{2}\right) $$

平行移動しても $x^2$ の係数 $2$ は変わらないため、求める放物線の方程式は以下のように表される。

$$ y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{2} $$

これを展開して整理する。

$$ \begin{aligned} y &= 2\left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) + \frac{9}{2} \\ &= 2x^2 - 2x + \frac{1}{2} + \frac{9}{2} \\ &= 2x^2 - 2x + 5 \end{aligned} $$

解法2

平行移動後の放物線の方程式については、頂点の移動ではなく、方程式の文字の置き換えによる平行移動を利用することもできる。

関数 $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの方程式は、$y - q = f(x - p)$ で得られる。

本問において、$p = -1$、$q = 2$ であるから、元の放物線の方程式 $y = 2x^2 - 6x + 7$ の $x$ を $x - (-1) = x + 1$ に、$y$ を $y - 2$ に置き換えると、平行移動後の放物線の方程式となる。

$$ y - 2 = 2(x + 1)^2 - 6(x + 1) + 7 $$

これを整理して $y$ について解く。

$$ \begin{aligned} y &= 2(x^2 + 2x + 1) - 6x - 6 + 7 + 2 \\ &= 2x^2 + 4x + 2 - 6x + 3 \\ &= 2x^2 - 2x + 5 \end{aligned} $$

解説

2次関数の平方完成およびグラフの平行移動についての基本的な問題である。

グラフの平行移動を処理する手段として、頂点などの特徴点に注目して図形全体を移動させる方法（解法1）と、関係式の変数を置き換える方法（解法2）の2通りを使い分けられるようにしておきたい。本問のような2次関数の平行移動においては、どちらの手法を用いても計算量に大きな差はないが、より複雑な関数を扱う際には解法2の置き換えによるアプローチが強力な武器となる。