数学1 二次関数 問題 27 解説

方針・初手

2次関数の平行移動は、頂点の移動を考えるのが最も確実でわかりやすい。移動前と移動後の2つの2次関数をそれぞれ平方完成し、頂点の座標を比較して移動量を求める。 あるいは、平行移動の基本性質である「$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動するときは $x$ を $x-p$、$y$ を $y-q$ に置き換える」を利用し、恒等式として係数比較を行う方法もある。

解法1

移動前と移動後の放物線の式をそれぞれ平方完成し、頂点の座標を求める。

移動後の放物線の式は $y = x^2 + 4x + 12$ である。これを平方完成すると、

$$ y = (x + 2)^2 - 4 + 12 $$

$$ y = (x + 2)^2 + 8 $$

したがって、移動後の放物線の頂点の座標は $(-2, 8)$ である。

次に、移動前の放物線の式は $y = x^2 - 2x + 4$ である。これを平方完成すると、

$$ y = (x - 1)^2 - 1 + 4 $$

$$ y = (x - 1)^2 + 3 $$

したがって、移動前の放物線の頂点の座標は $(1, 3)$ である。

移動前の頂点 $(1, 3)$ が移動後の頂点 $(-2, 8)$ に移るので、その平行移動の量は、

$x$ 軸方向について

$$ -2 - 1 = -3 $$

$y$ 軸方向について

$$ 8 - 3 = 5 $$

となる。よって、$x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $5$ 平行移動したものであることがわかる。

解法2

放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したとすると、$x$ を $x - p$、$y$ を $y - q$ に置き換えて、

$$ y - q = (x - p)^2 - 2(x - p) + 4 $$

右辺を展開して整理すると、

$$ y = x^2 - 2px + p^2 - 2x + 2p + 4 + q $$

$$ y = x^2 - 2(p + 1)x + p^2 + 2p + 4 + q $$

この放物線が $y = x^2 + 4x + 12$ と一致するので、各項の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} -2(p + 1) = 4 \\ p^2 + 2p + 4 + q = 12 \end{cases} $$

第1式より、

$$ p + 1 = -2 $$

$$ p = -3 $$

これを第2式に代入すると、

$$ (-3)^2 + 2(-3) + 4 + q = 12 $$

$$ 9 - 6 + 4 + q = 12 $$

$$ 7 + q = 12 $$

$$ q = 5 $$

よって、$x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動したものである。

解説

2次関数の平行移動・対称移動は、グラフの形状を変えないため、「頂点」という代表1点の移動を追跡するのが定石である。計算の手間も少なく、計算ミスを防ぎやすい。 一方、解法2で示したような「式の置き換え」によるアプローチは、2次関数に限らず円やその他のどんな図形の方程式においても成り立つ汎用的な考え方であるため、こちらも習熟しておきたい。問題文の「○○は、△△を平行移動したもの」という主語・述語の関係を読み違えないように注意が必要である。

答え

ア： $-3$

イ： $5$