トップ› 基礎問題› 数学3› 極限› 数列･極限› 問題 1

数学3 数列･極限問題 1 解説

方針・初手

数列 $\{x_n\}$ は単純な等比数列であるため、直ちに一般項を求めることができる。求めた $x_n$ を数列 $\{y_n\}$ の漸化式に代入すると、$y_{n+1} = p y_n + f(n)$ の形になる。この形は、両辺を $p^{n+1}$ （本問の場合は $t^{n+1}$）で割ることで、階差数列を利用する基本パターンに帰着できる。定数 $s, t$ の値によっては公比が $1$ となり階差の和の計算式が変わるため、(1) では $s=t$ の場合と $s \neq t$ の場合とで場合分けを行う必要がある点に注意する。

解法1

(1)

数列 $\{x_n\}$ は初項 $x_1 = a$、公比 $s$ の等比数列であるから、その一般項は以下のようになる。

$$x_n = a s^{n-1}$$

これを数列 $\{y_n\}$ の漸化式 $y_{n+1} = t(y_n - x_n)$ に代入して整理する。

$$y_{n+1} = t y_n - a t s^{n-1}$$

両辺を $t^{n+1}$ ($t > 0$ より $t^{n+1} \neq 0$) で割ると、次の式を得る。

$$\frac{y_{n+1}}{t^{n+1}} = \frac{y_n}{t^n} - \frac{a s^{n-1}}{t^n}$$

$$\frac{y_{n+1}}{t^{n+1}} = \frac{y_n}{t^n} - \frac{a}{t} \left(\frac{s}{t}\right)^{n-1}$$

ここで $z_n = \frac{y_n}{t^n}$ とおくと、$z_1 = \frac{y_1}{t} = \frac{b}{t}$ であり、漸化式は以下のようになる。

$$z_{n+1} - z_n = - \frac{a}{t} \left(\frac{s}{t}\right)^{n-1}$$

数列 $\{z_n\}$ は、初項 $\frac{b}{t}$、階差数列が $- \frac{a}{t} \left(\frac{s}{t}\right)^{n-1}$ の数列である。階差数列の和は $\frac{s}{t}$ の値によって異なるため、場合分けを行う。

(i) $s \neq t$ のとき

$n \geqq 2$ において、一般項 $z_n$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} z_n &= z_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left\{ - \frac{a}{t} \left(\frac{s}{t}\right)^{k-1} \right\} \\ &= \frac{b}{t} - \frac{a}{t} \cdot \frac{1 - \left(\frac{s}{t}\right)^{n-1}}{1 - \frac{s}{t}} \\ &= \frac{b}{t} - \frac{a}{t} \cdot \frac{t \left\{ 1 - \left(\frac{s}{t}\right)^{n-1} \right\}}{t - s} \\ &= \frac{b}{t} - \frac{a \left( t^{n-1} - s^{n-1} \right)}{t^{n-1} (t - s)} \end{aligned}$$

$y_n = t^n z_n$ であるから、両辺に $t^n$ を掛ける。

$$\begin{aligned} y_n &= t^n \left\{ \frac{b}{t} - \frac{a \left( t^{n-1} - s^{n-1} \right)}{t^{n-1} (t - s)} \right\} \\ &= b t^{n-1} - \frac{a t \left( t^{n-1} - s^{n-1} \right)}{t - s} \\ &= b t^{n-1} - \frac{a t \left( s^{n-1} - t^{n-1} \right)}{s - t} \end{aligned}$$

この式は $n=1$ のとき $y_1 = b - 0 = b$ となり、$n=1$ の場合も成り立つ。

(ii) $s = t$ のとき

漸化式は $z_{n+1} - z_n = - \frac{a}{t}$ となる。これは、数列 $\{z_n\}$ が初項 $\frac{b}{t}$、公差 $- \frac{a}{t}$ の等差数列であることを意味する。

$$z_n = \frac{b}{t} - \frac{a}{t} (n-1) = \frac{b - a(n-1)}{t}$$

$y_n = t^n z_n$ であるから、両辺に $t^n$ を掛ける。

$$y_n = t^n \cdot \frac{b - a(n-1)}{t} = t^{n-1} \{ b - a(n-1) \}$$

(2)

条件より $1 < t < s$ であるため $s \neq t$ が成り立ち、(1) の (i) の結果を用いることができる。求める極限の式に $x_n, y_n$ を代入する。

$$\frac{y_n}{x_n} = \frac{b t^{n-1} - \frac{a t \left( s^{n-1} - t^{n-1} \right)}{s - t}}{a s^{n-1}}$$

分母分子を $a s^{n-1}$ で割り、$\frac{t}{s}$ の形を作り出す。

$$\begin{aligned} \frac{y_n}{x_n} &= \frac{b}{a} \left(\frac{t}{s}\right)^{n-1} - \frac{t}{s - t} \cdot \frac{s^{n-1} - t^{n-1}}{s^{n-1}} \\ &= \frac{b}{a} \left(\frac{t}{s}\right)^{n-1} - \frac{t}{s - t} \left\{ 1 - \left(\frac{t}{s}\right)^{n-1} \right\} \end{aligned}$$

ここで、$1 < t < s$ より $0 < \frac{t}{s} < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{t}{s}\right)^{n-1} = 0$ となる。したがって、求める極限は以下のようになる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{y_n}{x_n} &= \frac{b}{a} \cdot 0 - \frac{t}{s - t} (1 - 0) \\ &= - \frac{t}{s - t} \\ &= \frac{t}{t - s} \end{aligned}$$

解説

文字定数を含んだ連立漸化式と極限の典型問題である。 (1) で $y_{n+1} = t y_n + (\text{等比数列})$ の形を導いた後、両辺を $t^{n+1}$ で割る操作は極めて標準的である。ただし、途中で等比数列の和の公式を用いる際、公比が $1$ になる可能性（つまり $s=t$ の場合）を見落とすと減点対象となる。本問では (2) の条件に $1 < t < s$ とあることから、逆算的に (1) では $s=t$ の場合分けが要求されていることに気づくことができる。 (2) は、等比数列の極限の基本原則に従い、分母の最も発散の速い項（この場合は底が最大の $s^{n-1}$）で分母分子を割ることで解決する。