数学3 数列･極限 問題 4 解説

方針・初手

与えられた2つの数列について、それぞれの一般項を求めてから $n$ 項までの和 $S_n, R_n$ を計算する。その後、求めたい極限の式に代入して計算を進める。特に $\frac{1}{R_k}$ の和は、部分分数分解を利用して求める。

解法1

数列 $1, 7, 13, 19, \cdots$ は、初項 $1$、公差 $6$ の等差数列であるから、その第 $k$ 項は

$$1 + (k - 1) \cdot 6 = 6k - 5$$

と表される。したがって、第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$$S_n = \sum_{k=1}^n (6k - 5) = 6 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) - 5n = 3n^2 - 2n$$

となる。

次に、数列 $1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \cdots$ の第 $k$ 項は $k(k+1)$ であるから、その第 $n$ 項までの和 $R_n$ は

$$R_n = \sum_{k=1}^n k(k+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$$

となる。

ここで、求める極限の式の前半部分である $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}$ について考える。 $R_k = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$ より、

$$\frac{1}{R_k} = \frac{3}{k(k+1)(k+2)}$$

となる。これを部分分数に分解すると、

$$\frac{1}{R_k} = \frac{3}{2} \left\{ \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right\}$$

と変形できる。これを用いて和を計算すると、

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k} &= \frac{3}{2} \sum_{k=1}^n \left\{ \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right\} \\ &= \frac{3}{2} \left\{ \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \right\} \\ &= \frac{3}{2} \left\{ \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\} \end{aligned}$$

となる。したがって、$n \to \infty$ の極限をとると、

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$

となる。

また、式の後半部分 $\frac{R_n}{n S_n}$ については、先ほど求めた $S_n, R_n$ を代入すると、

$$\frac{R_n}{n S_n} = \frac{\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)}{n(3n^2 - 2n)} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3n^2(3n-2)} = \frac{(n+1)(n+2)}{3n(3n-2)}$$

となる。分子・分母を展開すると、

$$\frac{R_n}{n S_n} = \frac{n^2 + 3n + 2}{9n^2 - 6n}$$

となり、分母と分子をそれぞれ $n^2$ で割って極限をとると、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{R_n}{n S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{9 - \frac{6}{n}} = \frac{1}{9}$$

となる。

以上より、求める極限は、

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} \right) - \frac{R_n}{n S_n} \right\} &= \frac{3}{4} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{27 - 4}{36} \\ &= \frac{23}{36} \end{aligned}$$

となる。

解説

数列の和の計算およびその極限に関する基本的な問題である。 前半の和の計算では、分母に連続する3つの整数の積が現れるため、部分分数分解 $\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right\}$ を利用して途中項を相殺する典型的な処理を用いる。 後半の分数式は、分子と分母がともに $n$ の2次式となるため、最高次の項の係数に着目して極限を求める。このとき、$n S_n$ の計算で $n$ を掛け忘れたり、$R_n$ の係数 $\frac{1}{3}$ を落としたりするなどの計算ミスに注意が必要である。

答え

$$\frac{23}{36}$$