数学3 数列･極限 問題 5 解説

方針・初手

与えられた2つの漸化式の辺々を足し合わせることで、$a_n + b_n$ が定数数列になることを見抜くのが第一歩である。これにより、$b_n$ を $a_n$ で表すことができ、連立漸化式を $a_n$ のみを含む2項間隣接漸化式に帰着できる。

解法1

(1)

与えられた漸化式は以下の通りである。

$$\begin{cases} a_{n+1} = (1-p)a_n + qb_n \quad \cdots \text{①} \\ b_{n+1} = pa_n + (1-q)b_n \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$

①と②の辺々を加えると、次式を得る。

$$a_{n+1} + b_{n+1} = a_n + b_n$$

これより、数列 $\{a_n + b_n\}$ はすべての $n$ において一定の値をとる定数数列であることがわかる。

$$a_n + b_n = a_1 + b_1 = 1 + 0 = 1$$

したがって、$b_n$ は $a_n$ を用いて次のように表せる。

$$b_n = 1 - a_n \quad \cdots \text{③}$$

③を①に代入して $b_n$ を消去し、整理する。

$$a_{n+1} = (1-p)a_n + q(1-a_n)$$

$$a_{n+1} = (1-p-q)a_n + q$$

この2項間漸化式を解くために、特性方程式 $\alpha = (1-p-q)\alpha + q$ を考える。問題の条件 $p>0, q>0$ より $p+q \neq 0$ であるため、$\alpha = \frac{q}{p+q}$ と求まる。これを用いて漸化式を変形する。

$$a_{n+1} - \frac{q}{p+q} = (1-p-q) \left( a_n - \frac{q}{p+q} \right)$$

これにより、数列 $\left\{ a_n - \frac{q}{p+q} \right\}$ は、初項が $a_1 - \frac{q}{p+q} = 1 - \frac{q}{p+q} = \frac{p}{p+q}$、公比が $1-p-q$ の等比数列であることがわかる。したがって、一般項は次のように求まる。

$$a_n - \frac{q}{p+q} = \frac{p}{p+q} (1-p-q)^{n-1}$$

$$a_n = \frac{q}{p+q} + \frac{p}{p+q} (1-p-q)^{n-1}$$

また、これを③に代入して $b_n$ の一般項も求める。

$$b_n = 1 - \left\{ \frac{q}{p+q} + \frac{p}{p+q} (1-p-q)^{n-1} \right\}$$

$$b_n = \frac{p}{p+q} - \frac{p}{p+q} (1-p-q)^{n-1}$$

(2)

(1) で求めた $a_n, b_n$ の一般項において、$n$ が含まれる部分は $(1-p-q)^{n-1}$ のみである。したがって、数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ が収束するためには、この等比数列部分が収束すればよい。そのための必要十分条件は、公比 $1-p-q$ について次が成り立つことである。

$$-1 < 1-p-q \leqq 1$$

各辺から $1$ を引いて整理する。

$$-2 < -p-q \leqq 0$$

$$0 \leqq p+q < 2$$

ここで、問題の条件より $p>0$ かつ $q>0$ であるから、$p+q > 0$ は常に成り立つ。したがって、数列が収束するための条件は次のようになる。

$$p+q < 2$$

このとき、公比は $-1 < 1-p-q < 1$ を満たすため、次が成り立つ。

$$\lim_{n \to \infty} (1-p-q)^{n-1} = 0$$

これを用いて極限値を計算する。

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{q}{p+q} + \frac{p}{p+q} \cdot 0 = \frac{q}{p+q}$$

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{p}{p+q} - \frac{p}{p+q} \cdot 0 = \frac{p}{p+q}$$

解説

2つの状態間の推移（例えば確率の推移状態など）を表す際に頻出する形の連立漸化式である。係数の和が1になることに着目し、$a_n + b_n$ が保存量であることを見つけるのが定石である。極限の条件を求める際は、等比数列の収束条件 $-1 < r \leqq 1$ に当てはめた後、問題の前提条件である $p>0, q>0$ と照らし合わせて適切に条件を絞り込む必要がある。

答え

(1)

$$ a_n = \frac{q}{p+q} + \frac{p}{p+q} (1-p-q)^{n-1} $$

$$ b_n = \frac{p}{p+q} - \frac{p}{p+q} (1-p-q)^{n-1} $$

(2)

収束する条件： $p+q < 2$

極限値： $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{q}{p+q}, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{p}{p+q}$