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数学3 数列･極限問題 13 解説

注意画像の一部が不鮮明で、特に(1)の「数列 $\{a_n\}$ は」の読取りに不確実性があります。問題の性質上、これは「数列 $\{b_n\}$ は」の誤植または印字カスレであると判断できます。以下は「数列 $\{b_n\}$ は公比2の等比数列であることを示せ。」として解釈した場合の解答解説です。

方針・初手

隣接3項間の漸化式 $a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$ によって定まる数列の一般項を求める典型問題です。

(1)では与えられた式に従って漸化式を変形し、等比数列であることを示します。

(2)は(1)で求めた一般項を用いて等比数列の和を計算します。

(3)は(2)の和の式が「差分（階差）の形」になっていることを利用して一般項 $a_n$ を求めます。この誘導に乗る解法のほかに、特性方程式から2通りの等比数列を導いて連立する定石手法（解法2）も有効です。

(4)は求めた一般項の極限を計算する問題で、分母・分子を底の絶対値が最大の指数関数で割るのが基本です。

解法1

(1)

与えられた漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ の右辺の $a_{n+1}$ を左辺に移項すると、

$$a_{n+2} - a_{n+1} = 2a_n$$

この両辺に $2a_{n+1}$ を加えると、

$$a_{n+2} + a_{n+1} = 2a_{n+1} + 2a_n$$

右辺を $2$ でくくると、

$$a_{n+2} + a_{n+1} = 2(a_{n+1} + a_n)$$

$b_n = a_{n+1} + a_n$ であるから、上式は次のように表せる。

$$b_{n+1} = 2b_n$$

これより、数列 $\{b_n\}$ は公比 $2$ の等比数列であることが示された。

(2)

(1)より、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_2 + a_1 = 1 + 2 = 3$、公比 $2$ の等比数列である。よってその一般項は、

$$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$$

となる。これを与式に代入すると、

$$\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} b_k = \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} \cdot 3 \cdot 2^{k-1}$$

$$= 3 \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$ は初項 $1$、公比 $-2$、項数 $n-1$ の等比数列の和である。（$n \geqq 2$ より項数は $1$ 以上となる）

したがって、等比数列の和の公式より、

$$3 \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1} = 3 \cdot \frac{1 - (-2)^{n-1}}{1 - (-2)}$$

$$= 1 - (-2)^{n-1}$$

(3)

(2)で計算した和の左辺を変形する。$b_k = a_{k+1} + a_k$ より、

$$\begin{aligned} (-1)^{k-1} b_k &= (-1)^{k-1} (a_{k+1} + a_k) \\ &= (-1)^{k-1} a_k + (-1)^{k-1} a_{k+1} \\ &= (-1)^{k-1} a_k - (-1)^k a_{k+1} \end{aligned}$$

これを用いて和を展開すると、隣り合う項が打ち消し合う形になる。

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} b_k &= \sum_{k=1}^{n-1} \{ (-1)^{k-1} a_k - (-1)^k a_{k+1} \} \\ &= (a_1 - (-1)^1 a_2) + ((-1)^1 a_2 - (-1)^2 a_3) + \cdots + ((-1)^{n-2} a_{n-1} - (-1)^{n-1} a_n) \\ &= a_1 - (-1)^{n-1} a_n \end{aligned}$$

この結果が(2)で求めた式と等しいので、

$$a_1 - (-1)^{n-1} a_n = 1 - (-2)^{n-1}$$

$a_1 = 2$ を代入して整理すると、

$$2 - (-1)^{n-1} a_n = 1 - (-2)^{n-1}$$

$$(-1)^{n-1} a_n = 1 + (-2)^{n-1}$$

両辺に $(-1)^{n-1}$ を掛けると、（$(-1)^{2(n-1)} = 1$ に注意して）

$$\begin{aligned} a_n &= (-1)^{n-1} \{ 1 + (-2)^{n-1} \} \\ &= (-1)^{n-1} + (-1)^{n-1} \cdot (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-1} \\ &= (-1)^{n-1} + 2^{n-1} \end{aligned}$$

この式は $n=1$ のとき $a_1 = (-1)^0 + 2^0 = 1 + 1 = 2$ となり、条件を満たす。

(4)

(3)で求めた $a_n$ を代入すると、

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{2^n + (-1)^n}$$

$n \to \infty$ の極限を求めるため、分母・分子を底が最大の指数関数である $2^n$ で割る。

$$\begin{aligned} \frac{a_n}{a_{n+1}} &= \frac{\frac{2^{n-1}}{2^n} + \frac{(-1)^{n-1}}{2^n}}{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^n} \\ &= \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^n} \end{aligned}$$

$n \to \infty$ のとき $\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \to 0$ および $\left(-\frac{1}{2}\right)^n \to 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{2} - 0}{1 + 0} = \frac{1}{2}$$

よって、数列 $\left\{ \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\}$ は収束し、その極限値は $\frac{1}{2}$ である。

解法2

(3)の別解

(2)の誘導を用いず、漸化式の特性方程式を用いた標準的な手法で $a_n$ を求めることもできる。与えられた漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ の特性方程式 $t^2 - t - 2 = 0$ を解くと、$t = 2, -1$ となる。これを利用して、漸化式は次の2通りに変形できる。

$$a_{n+2} + a_{n+1} = 2(a_{n+1} + a_n) \quad \dots \text{①}$$

$$a_{n+2} - 2a_{n+1} = -(a_{n+1} - 2a_n) \quad \dots \text{②}$$

①より、数列 $\{a_{n+1} + a_n\}$ は初項 $a_2 + a_1 = 1 + 2 = 3$、公比 $2$ の等比数列なので、

$$a_{n+1} + a_n = 3 \cdot 2^{n-1} \quad \dots \text{③}$$

②より、数列 $\{a_{n+1} - 2a_n\}$ は初項 $a_2 - 2a_1 = 1 - 4 = -3$、公比 $-1$ の等比数列なので、

$$a_{n+1} - 2a_n = -3 \cdot (-1)^{n-1} \quad \dots \text{④}$$

③から④を引くと、

$$3a_n = 3 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot (-1)^{n-1}$$

両辺を $3$ で割ることで、一般項が得られる。

$$a_n = 2^{n-1} + (-1)^{n-1}$$

解説

隣接3項間の漸化式の基本問題です。(3)において、(2)の等比数列の和の形が $\sum \{ f(k) - f(k+1) \}$ の形（いわゆる望遠鏡和・階差の形）に帰着することを見抜けるかがポイントになります。出題者の意図はこの誘導に乗ることですが、解法2で示したように特性方程式から2つの等比数列を導き、連立して $a_{n+1}$ を消去する解法も非常に実用的で確実です。

(4)の極限計算では、「底の絶対値が最大のもの」で分母分子を割るのが鉄則です。この処理を行わないと $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形となり、極限を正しく評価できません。