数学3 数列･極限 問題 15 解説

方針・初手

与えられた漸化式 $a_{n+1} = x a_n + y^{n+1}$ の両辺を $x^{n+1}$ で割り、階差数列を利用して数列 $\{a_n\}$ の一般項を $x, y, n$ を用いて表す。その後、$n \to \infty$ としたときの極限が収束する条件を、$x$ と $y$ の大小関係で場合分けして調べる。

解法1

漸化式 $a_{n+1} = x a_n + y^{n+1}$ の両辺を $x^{n+1}$ で割ると、

$$\frac{a_{n+1}}{x^{n+1}} = \frac{a_n}{x^n} + \left(\frac{y}{x}\right)^{n+1}$$

となる。 ここで、$b_n = \frac{a_n}{x^n}$ とおくと、$a_1 = 0$ より $b_1 = 0$ であり、

$$b_{n+1} - b_n = \left(\frac{y}{x}\right)^{n+1}$$

となる。数列 $\{b_n\}$ は階差数列が $\left(\frac{y}{x}\right)^{n+1}$ であるから、$n \geqq 2$ のとき、

$$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{y}{x}\right)^{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{y}{x}\right)^{k+1}$$

ここで、条件より $x, y$ は相異なる正の実数であるから $x \neq y$、すなわち $\frac{y}{x} \neq 1$ である。 したがって、等比数列の和の公式を用いて、

$$b_n = \frac{\left(\frac{y}{x}\right)^2 \left\{ 1 - \left(\frac{y}{x}\right)^{n-1} \right\}}{1 - \frac{y}{x}} = \frac{y^2 \left( x^{n-1} - y^{n-1} \right)}{x^{n+1} \left( 1 - \frac{y}{x} \right)} = \frac{y^2 \left( x^{n-1} - y^{n-1} \right)}{x^n (x - y)}$$

$a_n = x^n b_n$ より、

$$a_n = \frac{y^2}{x - y} \left( x^{n-1} - y^{n-1} \right)$$

この式は $n=1$ のとき $a_1 = \frac{y^2}{x-y}(1-1) = 0$ となり、$n=1$ でも成り立つ。

次に、$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束する条件を考える。

(i) $x > y$ のとき

$a_n$ を次のように変形する。

$$a_n = \frac{y^2}{x - y} x^{n-1} \left\{ 1 - \left(\frac{y}{x}\right)^{n-1} \right\}$$

$x > y > 0$ より $0 < \frac{y}{x} < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{y}{x}\right)^{n-1} = 0$ となる。 したがって、$n \to \infty$ のとき括弧内は $1$ に収束するため、$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束するための条件は、$x^{n-1}$ が収束することである。 $x > 0$ であるから、これが収束するのは $0 < x \leqq 1$ のときである。 $x > y$ と合わせると、条件は $0 < y < x \leqq 1$ である。

(ii) $y > x$ のとき

$a_n$ を次のように変形する。

$$a_n = \frac{y^2}{x - y} y^{n-1} \left\{ \left(\frac{x}{y}\right)^{n-1} - 1 \right\}$$

$y > x > 0$ より $0 < \frac{x}{y} < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x}{y}\right)^{n-1} = 0$ となる。 したがって、$n \to \infty$ のとき括弧内は $-1$ に収束するため、$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束するための条件は、$y^{n-1}$ が収束することである。 $y > 0$ であるから、これが収束するのは $0 < y \leqq 1$ のときである。 $y > x$ と合わせると、条件は $0 < x < y \leqq 1$ である。

(i), (ii) より、求める $(x, y)$ の範囲は

$$0 < y < x \leqq 1 \quad \text{または} \quad 0 < x < y \leqq 1$$

すなわち、

$$0 < x \leqq 1 \quad \text{かつ} \quad 0 < y \leqq 1 \quad \text{かつ} \quad x \neq y$$

である。

解説

隣接2項間漸化式から一般項を求め、極限を計算する典型的な問題である。一般項を求める過程で公比が $1$ か否かでの場合分けが本来は必要となるが、本問では「相異なる」という条件により $x \neq y$ と確定するため、等比数列の和の公式をそのまま適用できる。極限の計算では、底の大小関係による場合分け（$x>y$ か $y>x$ か）と、極限が有限確定値となるための底の範囲（$x \leqq 1$ や $y \leqq 1$）の吟味が重要である。境界上の点（$x=1$ や $y=1$ のとき）でも極限が有限の値に収束することを見落とさないように注意したい。

答え

求める領域は、連立不等式

$$\begin{cases} 0 < x \leqq 1 \\ 0 < y \leqq 1 \\ x \neq y \end{cases}$$

が表す領域である。図示すると、頂点 $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ を結ぶ正方形の内部および境界線のうち、$x=1$ と $y=1$ の線分（点 $(1,1)$ を除く）を含み、直線 $y=x$ 上の点と、$x$ 軸および $y$ 軸上の点を含まない領域となる。