数学3 数列･極限 問題 16 解説

方針・初手

漸化式が累乗や根号を含む積・商の形で与えられている場合、両辺の対数をとることで基本的な線形2項間漸化式に帰着できることが多い。本問でも $a_n > 0$ を確認したうえで、対数をとって一般項を求める方針が有効である。係数に $2$ が含まれているため、対数の底は $2$ とすると計算が簡明になる。

解法1

$a_1 > 0$ であり、$a_{n+1} = 2\sqrt{a_n}$ であるから、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ について $a_n > 0$ である。

したがって、与えられた漸化式の両辺の底を $2$ とする対数をとることができる。

$$\log_2 a_{n+1} = \log_2 \left( 2\sqrt{a_n} \right)$$

対数の性質を用いて右辺を変形する。

$$\log_2 a_{n+1} = \log_2 2 + \log_2 a_n^{\frac{1}{2}}$$

$$\log_2 a_{n+1} = \frac{1}{2} \log_2 a_n + 1$$

ここで、$b_n = \log_2 a_n$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は次の漸化式を満たす。

$$b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n + 1$$

この式は、特性方程式 $\alpha = \frac{1}{2}\alpha + 1$ の解が $\alpha = 2$ であることを用いて、次のように変形できる。

$$b_{n+1} - 2 = \frac{1}{2} (b_n - 2)$$

ゆえに、数列 $\{b_n - 2\}$ は初項 $b_1 - 2 = \log_2 a_1 - 2$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。したがって、その一般項は次のように表される。

$$b_n - 2 = (\log_2 a_1 - 2) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$$

$$b_n = 2 + (\log_2 a_1 - 2) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$$

ここで、$n \to \infty$ の極限を考えると、$\left| \frac{1}{2} \right| < 1$ より $\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \to 0$ となるため、次が成り立つ。

$$\lim_{n \to \infty} b_n = 2$$

$b_n = \log_2 a_n$ より $a_n = 2^{b_n}$ であり、指数関数 $y = 2^x$ は連続関数であるから、次のように極限を求めることができる。

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 2^{b_n} = 2^2 = 4$$

解説

項がすべて正であり、積や商、累乗で構成されている漸化式は、対数をとることで和や差の定数係数線形漸化式（特性方程式を利用して解く基本的な形）に帰着させるのが定石である。

対数をとる前には、真数条件を満たすため「すべての項が正であること」を明記する必要がある。本問では初項 $a_1 > 0$ と平方根の定義（あるいは値域）から明らかであるが、記述式の答案では一言触れておくことで論理の飛躍を防ぐことができる。また、極限を求める際に指数関数の連続性に基づいている点も意識しておきたい。

答え

$$4$$