数学3 数列･極限 問題 18 解説

方針・初手

漸化式が積や累乗根で与えられており、かつすべての項が正であるという条件があるため、両辺の自然対数をとるのが定石である。対数をとった後の数列について階差数列を考えることで、見慣れた線形漸化式に帰着できる。

解法1

(1)

与えられた漸化式は以下の通りである。

$$a_{n+1}\sqrt{a_{n-1}} = a_n\sqrt{a_n} \quad (n \geqq 2)$$

すべての自然数 $n$ について $a_n > 0$ であるから、両辺の自然対数をとることができる。

$$\log \left( a_{n+1}\sqrt{a_{n-1}} \right) = \log \left( a_n\sqrt{a_n} \right)$$

対数の性質を用いて変形する。

$$\log a_{n+1} + \frac{1}{2}\log a_{n-1} = \log a_n + \frac{1}{2}\log a_n$$

$$\log a_{n+1} + \frac{1}{2}\log a_{n-1} = \frac{3}{2}\log a_n$$

移項して整理すると、次のようになる。

$$\log a_{n+1} - \log a_n = \frac{1}{2} ( \log a_n - \log a_{n-1} )$$

ここで、$b_n = \log \frac{a_{n+1}}{a_n} = \log a_{n+1} - \log a_n$ とおくと、上の式は次のように表される。

$$b_n = \frac{1}{2} b_{n-1} \quad (n \geqq 2)$$

(2)

(1)より、数列 $\{b_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

その初項 $b_1$ は次のように計算できる。

$$b_1 = \log \frac{a_2}{a_1} = \log \frac{e}{1} = \log e = 1$$

したがって、一般項 $b_n$ は次のように求められる。

$$b_n = 1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$$

(3)

$b_n = \log a_{n+1} - \log a_n$ であるから、数列 $\{b_n\}$ は数列 $\{\log a_n\}$ の階差数列である。

$n \geqq 2$ のとき、一般項 $\log a_n$ は階差数列を用いて次のように表される。

$$\begin{aligned} \log a_n &= \log a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\ &= \log 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} \\ &= 0 + \frac{1 \cdot \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned}$$

この式において $n=1$ とすると、

$$2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^0 \right\} = 2(1 - 1) = 0$$

となり、$\log a_1 = 0$ と一致するため、$n=1$ のときも成立する。

したがって、すべての自然数 $n$ について次の式が成り立つ。

$$\log a_n = 2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}$$

対数の定義より、$a_n$ は次のように求められる。

$$a_n = e^{2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}}$$

(4)

(3)の結果を用いて極限を計算する。

$n \to \infty$ のとき、$\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \to 0$ であるから、次のように求まる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n &= \lim_{n \to \infty} e^{2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}} \\ &= e^{2(1 - 0)} \\ &= e^2 \end{aligned}$$

解説

累乗や累乗根を含む漸化式では、両辺の対数をとることで和や差の形に帰着させるのが定石である。対数をとるためには真数が正である必要があるため、最初に「$a_n > 0$ であるから」と断りを入れることが重要である。本問では問題文に「正の数列」と明記されているため、その確認は容易である。

対数をとった後は、隣接3項間漸化式から階差数列を見出して一般項を求めるという、標準的な数列の解法に沿って進めることができる。極限の計算は、指数部分の極限を求めれば直ちに答えが得られる。

答え

(1) $b_n = \frac{1}{2} b_{n-1}$

(2) $b_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

(3) $a_n = e^{2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}}$

(4) $e^2$