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数学3 数列･極限問題 19 解説

方針・初手

与えられた数列の漸化式から階差数列を読み取り、一般項 $a_n$ を求める。求めた $a_n$ を用いて不等式を解き、和の計算では部分分数分解を利用する。最後に、得られた和の式を用いて極限を計算する。

解法1

(1)

与えられた漸化式は $a_n = a_{n-1} + 10n - 3 \ (n \ge 2)$ である。

これを $n$ を $n+1$ に置き換えて整理すると、$n \ge 1$ において以下の式が成り立つ。

$$a_{n+1} - a_n = 10(n+1) - 3 = 10n + 7$$

よって、数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_n = 10n + 7$ である。

$n \ge 2$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項は以下のように求められる。

$$\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\ &= 7 + \sum_{k=1}^{n-1} (10k + 7) \\ &= 7 + 10 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n + 7(n-1) \\ &= 7 + 5(n^2 - n) + 7n - 7 \\ &= 5n^2 + 2n \end{aligned}$$

この式に $n=1$ を代入すると $a_1 = 5 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 7$ となり、初項の条件とも一致する。

したがって、$a_n = 5n^2 + 2n$ である。

(2)

(1) で求めた $a_n$ を用いて、$a_n > 1000$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める。

$$5n^2 + 2n > 1000$$

$n$ は自然数であり、$f(n) = 5n^2 + 2n$ とおくと、$f(n)$ は $n$ とともに単調に増加する。

ここで、いくつか $n$ の値を代入して $f(n)$ の値を概算する。

$n = 13$ のとき

$$f(13) = 5 \cdot 13^2 + 2 \cdot 13 = 5 \cdot 169 + 26 = 845 + 26 = 871 \le 1000$$

$n = 14$ のとき

$$f(14) = 5 \cdot 14^2 + 2 \cdot 14 = 5 \cdot 196 + 28 = 980 + 28 = 1008 > 1000$$

よって、$a_n > 1000$ となる最小の $n$ は $14$ である。

(3)

求める和の式の分母 $3k + a_k$ を計算する。

$$3k + a_k = 3k + 5k^2 + 2k = 5k^2 + 5k = 5k(k+1)$$

これより、求める和は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac{2}{3k+a_k} &= \sum_{k=1}^n \frac{2}{5k(k+1)} \\ &= \frac{2}{5} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \end{aligned}$$

括弧の中を展開して和を計算する。

$$\begin{aligned} \frac{2}{5} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) &= \frac{2}{5} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right\} \\ &= \frac{2}{5} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= \frac{2n}{5(n+1)} \end{aligned}$$

(4)

(3) の結果を利用して極限を計算する。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{2}{3k+a_k} &= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= \frac{2}{5} (1 - 0) \\ &= \frac{2}{5} \end{aligned}$$