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数学3 数列･極限問題 48 解説

方針・初手

(1) 与えられた漸化式に $n=1, 2$ を順次代入して計算する。 (2) 2つの漸化式の辺々を足し合わせることで、数列 $\{a_n+b_n\}$ がどのような数列になるかを調べる。 (3) (2)の結果を用いて $b_n$ を消去し、$a_n$ に関する隣接2項間漸化式を導く。特性方程式を用いて一般項を求める。 (4) (3)で求めた一般項において $n \to \infty$ の極限をとる。

解法1

(1)

与えられた漸化式は以下の通りである。

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{3}{4}a_n + \frac{1}{2}b_n \quad \cdots ① \\ b_{n+1} &= \frac{1}{4}a_n + \frac{1}{2}b_n \quad \cdots ② \end{aligned}$$

$a_1=12, b_1=0$ と ①, ② より、$n=1$ を代入して、

$$\begin{aligned} a_2 &= \frac{3}{4}a_1 + \frac{1}{2}b_1 = \frac{3}{4} \cdot 12 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 9 \\ b_2 &= \frac{1}{4}a_1 + \frac{1}{2}b_1 = \frac{1}{4} \cdot 12 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 3 \end{aligned}$$

同様に、$n=2$ を代入して、

$$\begin{aligned} a_3 &= \frac{3}{4}a_2 + \frac{1}{2}b_2 = \frac{3}{4} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{27}{4} + \frac{6}{4} = \frac{33}{4} \\ b_3 &= \frac{1}{4}a_2 + \frac{1}{2}b_2 = \frac{1}{4} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4} + \frac{6}{4} = \frac{15}{4} \end{aligned}$$

(2)

①と②の辺々を足し合わせると、

$$\begin{aligned} a_{n+1} + b_{n+1} &= \left(\frac{3}{4}a_n + \frac{1}{2}b_n\right) + \left(\frac{1}{4}a_n + \frac{1}{2}b_n\right) \\ &= a_n + b_n \end{aligned}$$

これより、数列 $\{a_n+b_n\}$ はすべての自然数 $n$ において一定の値をとることが分かる。

$$a_n + b_n = a_1 + b_1 = 12 + 0 = 12$$

したがって、すべての自然数 $n$ について、$a_n + b_n = 12$ が成り立つことが証明された。

(3)

(2)の結果より、$b_n = 12 - a_n$ である。これを①の漸化式に代入する。

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{3}{4}a_n + \frac{1}{2}(12 - a_n) \\ &= \frac{1}{4}a_n + 6 \end{aligned}$$

この漸化式を変形すると、次のように表せる。

$$a_{n+1} - 8 = \frac{1}{4}(a_n - 8)$$

これは、数列 $\{a_n - 8\}$ が初項 $a_1 - 8 = 12 - 8 = 4$、公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列であることを示している。したがって、

$$a_n - 8 = 4 \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$

$$a_n = 8 + 4 \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$

また、$b_n = 12 - a_n$ であるから、

$$\begin{aligned} b_n &= 12 - \left\{8 + 4 \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\} \\ &= 4 - 4 \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \end{aligned}$$

(4)

(3) で求めた一般項について $n \to \infty$ の極限をとる。$-1 < \frac{1}{4} < 1$ であるから、$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = 0$ となる。

$$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left\{8 + 4 \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\} = 8$$

$$\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \left\{4 - 4 \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\} = 4$$

解説

連立漸化式の典型的な解法を問う問題である。連立漸化式を解く基本的なアプローチには以下の2つがある。

和や差をとって新しい数列を作る
一方の文字を消去して、隣接3項間漸化式に帰着させる

本問では (2) の誘導により $a_n + b_n$ が定数になることが示されるため、そこから一方の文字を消去して基本的な隣接2項間漸化式に帰着させる方針をとる。(2) のような誘導がない場合でも、まずは連立漸化式の辺々を足したり引いたりして、簡潔な漸化式が作れないか試すのが定石である。極限の計算については等比数列の極限の基本事項を用いる。