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数学3 数列･極限問題 47 解説

方針・初手

与えられた数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ に対して、定義に従い $S_n, T_n, U_n$ の和を計算する。

(1) では、等比数列の和の公式を用いて $S_n, T_n, U_n$ をそれぞれ $n, r$ で表す。その後、最大の底を持つ指数関数で分母分子を割り、極限を求める。最大値は得られた極限の式を $r$ の関数と見て微分することで求める。
(2) では、$T_n$ は $\sum k^2$ の公式に帰着させ、$U_n$ は「等差数列 $\times$ 等比数列」の和の定石に従い、公比を掛けたものをずらして辺々引く計算を行う。極限計算では、多項式と指数関数の発散の強さの違いを意識して式変形する。

解法1

(1)

$a_k = 2^k, b_k = r^k$ ($r > 1$) であるから、各和は等比数列の和の公式を用いて次のように計算できる。

$$S_n = \sum_{k=1}^n (2^k)^2 = \sum_{k=1}^n 4^k = \frac{4(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4}{3}(4^n - 1)$$

$$T_n = \sum_{k=1}^n (r^k)^2 = \sum_{k=1}^n (r^2)^k = \frac{r^2(r^{2n} - 1)}{r^2 - 1}$$

$$U_n = \sum_{k=1}^n 2^k r^k = \sum_{k=1}^n (2r)^k = \frac{2r((2r)^n - 1)}{2r - 1}$$

ここで、$r > 1$ より $r^2 - 1 \neq 0, 2r - 1 \neq 0$ であるため、分母は $0$ にならない。これらを用いて、求める極限の式の内部を整理する。

$$\frac{(U_n)^2}{S_n T_n} = \frac{\left( \frac{2r((2r)^n - 1)}{2r - 1} \right)^2}{\frac{4(4^n - 1)}{3} \cdot \frac{r^2(r^{2n} - 1)}{r^2 - 1}}$$

$$= \frac{ \frac{4r^2((2r)^n - 1)^2}{(2r - 1)^2} }{ \frac{4r^2(4^n - 1)(r^{2n} - 1)}{3(r^2 - 1)} }$$

$$= \frac{3(r^2 - 1)}{(2r - 1)^2} \cdot \frac{4^n r^{2n} - 2(2r)^n + 1}{4^n r^{2n} - 4^n - r^{2n} + 1}$$

$n \to \infty$ の極限を求めるため、分数の右側の因数の分母分子を最大の項である $4^n r^{2n}$ で割る。

$$\frac{(U_n)^2}{S_n T_n} = \frac{3(r^2 - 1)}{(2r - 1)^2} \cdot \frac{1 - 2(2r)^{-n} + (4r^2)^{-n}}{1 - 4^{-n} - r^{-2n} + (4r^2)^{-n}}$$

$r > 1$ であるから、$n \to \infty$ のとき $(2r)^{-n} \to 0, (4r^2)^{-n} \to 0, 4^{-n} \to 0, r^{-2n} \to 0$ となる。したがって極限は次のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(U_n)^2}{S_n T_n} = \frac{3(r^2 - 1)}{(2r - 1)^2}$$

次に、この右辺を $f(r) = \frac{3(r^2 - 1)}{(2r - 1)^2}$ とおき、$r > 1$ における最大値を調べる。$r$ で微分すると、

$$f'(r) = 3 \cdot \frac{2r(2r - 1)^2 - (r^2 - 1) \cdot 2(2r - 1) \cdot 2}{(2r - 1)^4}$$

$$= 3 \cdot \frac{2r(2r - 1) - 4(r^2 - 1)}{(2r - 1)^3}$$

$$= \frac{3(4r^2 - 2r - 4r^2 + 4)}{(2r - 1)^3} = \frac{6(2 - r)}{(2r - 1)^3}$$

$r > 1$ において、$(2r - 1)^3 > 0$ であるから、$f'(r)$ の符号は $2 - r$ の符号と一致する。よって、$1 < r < 2$ では $f'(r) > 0$、$r > 2$ では $f'(r) < 0$ となり、$f(r)$ は $r = 2$ で極大かつ最大となる。その最大値は

$$f(2) = \frac{3(2^2 - 1)}{(2 \cdot 2 - 1)^2} = \frac{3 \cdot 3}{3^2} = 1$$

(2)

$a_n = 2^n, b_n = n + 1$ のとき、$T_n, U_n$ を計算する。

$$T_n = \sum_{k=1}^n (k + 1)^2 = \sum_{j=2}^{n+1} j^2 = \sum_{j=1}^{n+1} j^2 - 1$$

$$= \frac{1}{6}(n + 1)(n + 2)(2n + 3) - 1$$

$$= \frac{1}{6}(2n^3 + 9n^2 + 13n + 6) - 1 = \frac{1}{6}n(2n^2 + 9n + 13)$$

次に $U_n = \sum_{k=1}^n 2^k(k + 1)$ を求める。和を展開して書くと以下のようになる。

$$U_n = 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + (n + 1) \cdot 2^n$$

両辺に公比 $2$ を掛けたものを下に書き、辺々を引く。

$$\begin{aligned} U_n &= 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + (n + 1) \cdot 2^n \\ 2U_n &= \phantom{2 \cdot 2^1 +} 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n + (n + 1) \cdot 2^{n+1} \end{aligned}$$

$$-U_n = 4 + (1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^3 + \dots + 1 \cdot 2^n) - (n + 1) \cdot 2^{n+1}$$

カッコの中は初項 $2^2 = 4$、公比 $2$、項数 $n - 1$ の等比数列の和であるから、

$$-U_n = 4 + \frac{4(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} - (n + 1) \cdot 2^{n+1}$$

$$-U_n = 4 + 2^{n+1} - 4 - (n + 1) \cdot 2^{n+1} = -n \cdot 2^{n+1}$$

よって、$U_n = n \cdot 2^{n+1}$ である。 $S_n = \frac{4}{3}(4^n - 1)$ は (1) と同じであるから、これらを用いて極限を計算する。

$$\frac{(U_n)^2}{S_n T_n} = \frac{(n \cdot 2^{n+1})^2}{\frac{4}{3}(4^n - 1) \cdot \frac{1}{6}n(2n^2 + 9n + 13)}$$

$$= \frac{n^2 \cdot 4 \cdot 4^n}{\frac{2}{9} n (4^n - 1)(2n^2 + 9n + 13)}$$

$$= \frac{18 n \cdot 4^n}{(4^n - 1)(2n^2 + 9n + 13)}$$

分母分子を $n^2 \cdot 4^n$ で割る。

$$= \frac{ \frac{18}{n} }{ \left(1 - \frac{1}{4^n}\right) \left(2 + \frac{9}{n} + \frac{13}{n^2}\right) }$$

$n \to \infty$ のとき、分母は $1 \cdot 2 = 2$ に収束し、分子は $0$ に収束する。したがって、極限は $0$ である。

解説

(1)の最大値とコーシー・シュワルツの不等式 コーシー・シュワルツの不等式により、任意の数列について $\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \le \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right)$ が成り立ちます。すなわち、常に $\frac{(U_n)^2}{S_n T_n} \le 1$ であり、等号成立条件は定数 $c$ を用いて $a_k = c b_k$ と表せることです。本問では $2^k = c \cdot r^k$ すなわち $(2/r)^k = c$ となり、これがすべての $k$ で成り立つのは $r=2$ のときです。極限値の最大値が $r=2$ のとき $1$ になることは、この不等式の性質が極限にも反映されていることを示しています。
(2)の極限の考え方 分数式の極限において、多項式部分と指数関数部分が混在しています。基本に忠実に「分母の最大発散スピードを持つ項」で分母分子を割ることで、不定形を解消できます。