数学3 数列･極限 問題 50 解説

方針・初手

(1) は、分数の積に分解し、各項を $1$ 以下で上から評価することで、はさみうちの原理を用います。 (2) は、与えられた一般項の式に $n$ と $n+1$ を代入して比を計算し、自然対数の底 $e$ の定義式に帰着させます。 (3) は、$n$ 乗根と階乗を含む複雑な極限です。対数をとることで和の形に変換し、区分求積法を用いて定積分に帰着させるのが定石です。

解法1

(1)

$n \ge 1$ のとき、$a_n > 0$ である。$a_n$ を次のように変形して評価する。

$$a_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n \cdot n \cdot n \cdots n} = \frac{1}{n} \left( \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdots \frac{n}{n} \right)$$

ここで、$k=2, 3, \ldots, n$ に対して $\frac{k}{n} \le 1$ であるから、

$$0 < a_n \le \frac{1}{n} \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = \frac{1}{n}$$

が成り立つ。

$$\lim_{n \to \infty} 0 = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$

が示された。

(2)

与えられた一般項より、

$$a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \frac{a_n}{a_{n+1}} &= \frac{n!}{n^n} \div \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \\ &= \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \\ &= \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \\ &= \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)(n+1)^n}{n^n} \\ &= \frac{(n+1)^n}{n^n} \\ &= \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{aligned}$$

自然対数の底 $e$ の定義より、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$$

(3)

求める極限の式を $P_n$ とおき、その自然対数 $\log P_n$ を考える。

$$P_n = \left( \frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}}$$

まず、$\frac{a_{kn}}{a_n}$ を計算する。

$$\begin{aligned} \frac{a_{kn}}{a_n} &= \frac{(kn)!}{(kn)^{kn}} \div \frac{n!}{n^n} \\ &= \frac{(kn)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(kn)^{kn}} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)\cdots(kn)}{k^{kn} n^{kn}} \cdot n^n \end{aligned}$$

分子の $(n+1)(n+2)\cdots(kn)$ は、項数が $kn - n = (k-1)n$ 個の積である。これを $\prod_{j=1}^{(k-1)n} (n+j)$ と表す。 また、分母の $n$ の累乗を調整すると、

$$\frac{n^n}{n^{kn}} = \frac{1}{n^{(k-1)n}}$$

となるため、式は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \frac{a_{kn}}{a_n} &= \frac{1}{k^{kn}} \cdot \frac{\prod_{j=1}^{(k-1)n} (n+j)}{n^{(k-1)n}} \\ &= \frac{1}{k^{kn}} \prod_{j=1}^{(k-1)n} \frac{n+j}{n} \\ &= \frac{1}{k^{kn}} \prod_{j=1}^{(k-1)n} \left( 1 + \frac{j}{n} \right) \end{aligned}$$

両辺の自然対数をとると、

$$\begin{aligned} \log \left( \frac{a_{kn}}{a_n} \right) &= \log \left( k^{-kn} \right) + \log \left\{ \prod_{j=1}^{(k-1)n} \left( 1 + \frac{j}{n} \right) \right\} \\ &= -kn \log k + \sum_{j=1}^{(k-1)n} \log \left( 1 + \frac{j}{n} \right) \end{aligned}$$

よって、$\log P_n$ は次のように表される。

$$\begin{aligned} \log P_n &= \frac{1}{n} \log \left( \frac{a_{kn}}{a_n} \right) \\ &= -k \log k + \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{(k-1)n} \log \left( 1 + \frac{j}{n} \right) \end{aligned}$$

ここで、$n \to \infty$ としたときの第2項の極限は、区分求積法により定積分で表すことができる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{(k-1)n} \log \left( 1 + \frac{j}{n} \right) &= \int_0^{k-1} \log (1+x) \, dx \end{aligned}$$

$1+x = t$ とおくと、$dx = dt$ であり、積分区間は $x$ が $0 \to k-1$ のとき、$t$ は $1 \to k$ となる。

$$\begin{aligned} \int_0^{k-1} \log (1+x) \, dx &= \int_1^k \log t \, dt \\ &= \Bigl[ t \log t - t \Bigr]_1^k \\ &= (k \log k - k) - (1 \log 1 - 1) \\ &= k \log k - k + 1 \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \log P_n &= -k \log k + (k \log k - k + 1) \\ &= 1 - k \end{aligned}$$

指数関数 $y = e^x$ は連続関数であるから、

$$\lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} e^{\log P_n} = e^{1-k}$$

解説

(1) は基本となる不等式評価です。$\frac{n!}{n^n}$ が $0$ に収束することは頻出の事実ですが、このように積の形にばらして評価する手法を確実に身につけておく必要があります。

(2) は自然対数の底 $e$ の定義 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ を用いる基本的な計算問題です。階乗の計算を丁寧に行えば難しくありません。

(3) は対数をとって区分求積法に持ち込む、理系数学の頻出パターンです。$\frac{(kn)!}{n!}$ をどのように分解し、$n$ の何乗で割れば $\left(1 + \frac{j}{n}\right)$ の形を作れるかを考えることがポイントです。$\sum$ の上限が $n$ ではなく $(k-1)n$ になるため、積分の上端が $k-1$ になることに注意が必要です。

答え

(1) （証明は解法1を参照）

(2) $e$

(3) $e^{1-k}$