数学3 数列･極限 問題 54 解説

方針・初手

(1)は「すべての自然数 $n$ について」の命題であるから、数学的帰納法を用いて証明する。(2)は与えられた $c$ の定義式から $c$ が満たす2次方程式を導き、それを漸化式に代入して式変形を行う。(3)は(2)で得られた等式の両辺の絶対値をとり、(1)の不等式を用いて公比が $1$ より小さい等比数列の不等式を作り、はさみうちの原理を利用して極限を求める。

解法1

(1)

数学的帰納法により、$0 \leqq a_n \leqq 1$ が成り立つことを示す。

(i) $n=1$ のとき

条件より $a_1 = a$ であり、$0 \leqq a \leqq 1$ であるから、$0 \leqq a_1 \leqq 1$ が成り立つ。

(ii) $n=k$ （$k$ は自然数）のとき

$0 \leqq a_k \leqq 1$ が成り立つと仮定する。このとき、$0 \leqq a_k^2 \leqq 1$ である。 $n=k+1$ のとき、与えられた漸化式 $a_{k+1} = \frac{1}{2}(a_k^2 + b)$ において、条件 $0 \leqq b < 1$ を用いると、

$$a_{k+1} \geqq \frac{1}{2}(0 + 0) = 0$$

$$a_{k+1} \leqq \frac{1}{2}(1 + b) < \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$$

したがって、$0 \leqq a_{k+1} \leqq 1$ が成り立つ。

(i)、(ii) より、すべての自然数 $n$ について $0 \leqq a_n \leqq 1$ が成り立つことが示された。

(2)

$c = 1 - \sqrt{1-b}$ より、

$$1 - c = \sqrt{1-b}$$

両辺を2乗すると、

$$(1 - c)^2 = 1 - b$$

$$1 - 2c + c^2 = 1 - b$$

$$b = 2c - c^2$$

これを漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n^2 + b)$ に代入すると、

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{1}{2}(a_n^2 + 2c - c^2) \\ a_{n+1} - c &= \frac{1}{2}(a_n^2 - c^2) \\ a_{n+1} - c &= \frac{1}{2}(a_n + c)(a_n - c) \end{aligned}$$

よって、$a_{n+1} - c = \frac{1}{2}(a_n + c)(a_n - c)$ が成り立つことが示された。

(3)

(2) の結果より、両辺の絶対値をとると、

$$|a_{n+1} - c| = \frac{1}{2}|a_n + c||a_n - c|$$

ここで、$c = 1 - \sqrt{1-b}$ であり、$0 \leqq b < 1$ より $0 < 1-b \leqq 1$ であるから、$0 < \sqrt{1-b} \leqq 1$ となる。 したがって、

$$0 \leqq c < 1$$

である。また、(1) より $0 \leqq a_n \leqq 1$ であるから、$a_n + c \geqq 0$ であり、

$$\frac{1}{2}|a_n + c| = \frac{1}{2}(a_n + c) \leqq \frac{1}{2}(1 + c)$$

が成り立つ。ここで、$r = \frac{1+c}{2}$ とおくと、$0 \leqq c < 1$ より、

$$0 \leqq r < \frac{1+1}{2} = 1$$

である。これを用いると、

$$|a_{n+1} - c| \leqq r|a_n - c|$$

が成り立つ。この不等式を繰り返し用いると、

$$0 \leqq |a_n - c| \leqq r^{n-1}|a_1 - c|$$

となる。$0 \leqq r < 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} r^{n-1} = 0$$

である。よって、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} |a_n - c| = 0$$

すなわち、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = c$$

が成り立つことが示された。

解説

非線形な漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ で定められる数列の極限を求める典型的な問題である。 このような問題では、極限値の候補を $\alpha$ （本問では $c$）としたとき、$a_{n+1} - \alpha = g(a_n)(a_n - \alpha)$ の形に変形し、$|g(a_n)| \leqq r < 1$ となるような定数 $r$ を見つけてはさみうちの原理に持ち込むのが定石の処理である。本問は丁寧な誘導がつけられているため、それに従って論証を進めればよい。(3)で公比にあたる部分が定数 $r < 1$ で抑えられることを、$c$ の範囲を用いて正確に示すことがポイントとなる。

答え

(1) 数学的帰納法を用いて示された。

(2) 与式を変形して題意の等式が示された。

(3) はさみうちの原理を用いて極限が $c$ に収束することが示された。