数学3 数列･極限 問題 55 解説

方針・初手

与えられた連立漸化式から一般項 $a_n, b_n$ を求め、その後で $n \to \infty$ の極限を計算する方針をとる。 連立漸化式の典型的な解法としては、一方の文字を消去して隣接3項間漸化式に帰着させる方法（解法1）と、和や差をとって等比数列 $\{a_n + p b_n\}$ を構成する方法（解法2）がある。

解法1

$b_n$ を消去して $a_n$ についての漸化式を導く。 第1式 $a_{n+1} = 2a_n - \frac{1}{2}b_n$ より、

$$b_n = 4a_n - 2a_{n+1}$$

番号 $n$ を1つ進めると、

$$b_{n+1} = 4a_{n+1} - 2a_{n+2}$$

これらを第2式 $b_{n+1} = 5a_n - \frac{3}{2}b_n$ に代入する。

$$4a_{n+1} - 2a_{n+2} = 5a_n - \frac{3}{2}(4a_n - 2a_{n+1})$$

右辺を展開して整理する。

$$4a_{n+1} - 2a_{n+2} = 5a_n - 6a_n + 3a_{n+1}$$

$$2a_{n+2} - a_{n+1} - a_n = 0$$

この隣接3項間漸化式の特性方程式 $2x^2 - x - 1 = 0$ を解くと、

$$(2x + 1)(x - 1) = 0$$

$$x = 1, -\frac{1}{2}$$

したがって、漸化式は次の2通りに変形できる。

$$a_{n+2} - a_{n+1} = -\frac{1}{2}(a_{n+1} - a_n)$$

$$a_{n+2} + \frac{1}{2}a_{n+1} = a_{n+1} + \frac{1}{2}a_n$$

また、$a_1 = 5, b_1 = 8$ を用いて $a_2$ を求めると、

$$a_2 = 2 \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 8 = 6$$

これより、数列の初項となる値はそれぞれ以下のようになる。

$$a_2 - a_1 = 6 - 5 = 1$$

$$a_2 + \frac{1}{2}a_1 = 6 + \frac{5}{2} = \frac{17}{2}$$

したがって、数列 $\{a_{n+1} - a_n\}$ は初項 $1$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列であり、数列 $\{a_{n+1} + \frac{1}{2}a_n\}$ は初項 $\frac{17}{2}$、公比 $1$ の等比数列（一定）である。

$$a_{n+1} - a_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

$$a_{n+1} + \frac{1}{2}a_n = \frac{17}{2}$$

上の式から下の式を辺々引いて $a_{n+1}$ を消去する。

$$-\frac{3}{2}a_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} - \frac{17}{2}$$

$$a_n = \frac{17}{3} - \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

続いて、$b_n = 4a_n - 2a_{n+1}$ に求めた $a_n$ を代入して $b_n$ を求める。 $a_{n+1} = \frac{17}{3} - \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{17}{3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ であるから、

$$\begin{aligned} b_n &= 4\left\{ \frac{17}{3} - \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} - 2\left\{ \frac{17}{3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} \\ &= \frac{68}{3} - \frac{8}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} - \frac{34}{3} - \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\ &= \frac{34}{3} - \frac{10}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \end{aligned}$$

ここで $n \to \infty$ とすると、$\lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0$ となるため、

$$\alpha = \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{17}{3}$$

$$\beta = \lim_{n\to\infty} b_n = \frac{34}{3}$$

よって、求める値は

$$\alpha + \beta = \frac{17}{3} + \frac{34}{3} = \frac{51}{3} = 17$$

解法2

$a_{n+1} + p b_{n+1} = q(a_n + p b_n)$ の形となるような定数 $p, q$ を求める。 与式を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} a_{n+1} + p b_{n+1} &= 2a_n - \frac{1}{2}b_n + p\left(5a_n - \frac{3}{2}b_n\right) \\ &= (2 + 5p)a_n - \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}p\right)b_n \end{aligned}$$

これが $q(a_n + p b_n) = q a_n + pq b_n$ と $a_n, b_n$ について恒等的に等しくなる条件は、

$$\begin{cases} q = 2 + 5p \\ pq = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}p \end{cases}$$

上の式を下の式に代入する。

$$p(2 + 5p) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}p$$

$$10p^2 + 7p + 1 = 0$$

$$(2p + 1)(5p + 1) = 0$$

これより、$p = -\frac{1}{2}, -\frac{1}{5}$ を得る。

(i) $p = -\frac{1}{2}$ のとき $q = 2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$ となり、次が成り立つ。

$$a_{n+1} - \frac{1}{2}b_{n+1} = -\frac{1}{2}\left(a_n - \frac{1}{2}b_n\right)$$

数列 $\{a_n - \frac{1}{2}b_n\}$ は、初項 $a_1 - \frac{1}{2}b_1 = 5 - \frac{1}{2} \cdot 8 = 1$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$$a_n - \frac{1}{2}b_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

(ii) $p = -\frac{1}{5}$ のとき $q = 2 - 1 = 1$ となり、次が成り立つ。

$$a_{n+1} - \frac{1}{5}b_{n+1} = a_n - \frac{1}{5}b_n$$

数列 $\{a_n - \frac{1}{5}b_n\}$ は、初項 $a_1 - \frac{1}{5}b_1 = 5 - \frac{8}{5} = \frac{17}{5}$、公比 $1$ の等比数列（一定）である。

$$a_n - \frac{1}{5}b_n = \frac{17}{5}$$

(i)、(ii) の結果において $n \to \infty$ の極限をとる。 (i) より $\lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0$ であるから、

$$\lim_{n\to\infty} \left(a_n - \frac{1}{2}b_n\right) = 0$$

$$\alpha - \frac{1}{2}\beta = 0 \implies \beta = 2\alpha$$

(ii) より数列は定数なので極限もそれに等しく、

$$\lim_{n\to\infty} \left(a_n - \frac{1}{5}b_n\right) = \frac{17}{5}$$

$$\alpha - \frac{1}{5}\beta = \frac{17}{5}$$

$\beta = 2\alpha$ を下の式に代入して解く。

$$\alpha - \frac{2}{5}\alpha = \frac{17}{5}$$

$$\frac{3}{5}\alpha = \frac{17}{5} \implies \alpha = \frac{17}{3}$$

このとき $\beta = 2 \cdot \frac{17}{3} = \frac{34}{3}$ となる。

$$\alpha + \beta = \frac{17}{3} + \frac{34}{3} = 17$$

解説

連立漸化式を解いて極限を求める標準的な問題である。 解法1では1文字を消去して隣接3項間漸化式に帰着させる汎用的な手法を用いた。 解法2では、うまく係数を選んで等比数列を構成した。一般項 $a_n, b_n$ を完全に求めきらなくても、それぞれの関係式の極限をとることで $\alpha, \beta$ の連立方程式を作ることができ、計算量を大きく減らすことができる。 なお、極限 $\alpha, \beta$ が存在することを前提とすれば、元の漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - \frac{1}{2}b_n$ で $n \to \infty$ とすることで $\alpha = 2\alpha - \frac{1}{2}\beta$ （すなわち $\beta = 2\alpha$）がすぐに分かり、あとは解法2の不変量 $a_n - \frac{1}{5}b_n = \frac{17}{5}$ さえ見抜ければ暗算でも処理できる。

答え

17