数学3 数列･極限 問題 58 解説

方針・初手

分母が複数の因数の積で表された分数の和を求める問題である。部分分数分解を用いて、差の形で表すことでシグマの和を計算する。分母の因数が $k, k+1, k+3$ と等差になっていないため、分解の工夫が必要である。

解法1

一般項を部分分数分解する。分子の $1$ をうまく作り出すために、$(k+3)$ と $k$ の差を利用する。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+3)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(k+3) - k}{k(k+1)(k+3)}$$

これを展開して2つの分数に分ける。

$$= \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+3)} \right\}$$

括弧内のそれぞれの項について、さらに部分分数分解を行う。前半の項は以下のようになる。

$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$

後半の項は、$(k+3)$ と $(k+1)$ の差が $2$ であることを利用する。

$$\frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(k+3) - (k+1)}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right)$$

したがって、第 $k$ 項は次のように表される。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+3)} = \frac{1}{3} \left\{ \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right) \right\}$$

これを $k=1$ から $n$ まで足し合わせる。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+3)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - \frac{1}{6} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right)$$

ここで、第1の和は隣り合う項が相殺されて最初と最後のみが残る。

$$\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1}$$

第2の和は、2つ離れた項の差であるため、相殺されずに残る項に注意する。

$$\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) + \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3} \right)$$

途中の項が消え、最初の2項（正の符号）と最後の2項（負の符号）が残る。

$$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} = \frac{5}{6} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}$$

これらを元の式に代入する。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+3)} = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) - \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$$

求める極限は $n \to \infty$ のときである。$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n+1} \to 0$、$\frac{1}{n+2} \to 0$、$\frac{1}{n+3} \to 0$ となる。

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+3)} = \frac{1}{3} (1 - 0) - \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} - 0 - 0 \right)$$

$$= \frac{1}{3} - \frac{5}{36} = \frac{12}{36} - \frac{5}{36} = \frac{7}{36}$$

解法2

未定係数法を用いて部分分数分解を行う。定数 $a, b, c$ を用いて次のように置く。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+3)} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k+1} + \frac{c}{k+3}$$

両辺に $k(k+1)(k+3)$ を掛けて分母を払う。

$$1 = a(k+1)(k+3) + bk(k+3) + ck(k+1)$$

これが任意の $k$ について成り立つ恒等式である。

$k=0$ を代入すると、

$$1 = 3a \quad \therefore a = \frac{1}{3}$$

$k=-1$ を代入すると、

$$1 = -2b \quad \therefore b = -\frac{1}{2}$$

$k=-3$ を代入すると、

$$1 = 6c \quad \therefore c = \frac{1}{6}$$

よって、一般項は次のように部分分数分解できる。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+3)} = \frac{1}{3k} - \frac{1}{2(k+1)} + \frac{1}{6(k+3)}$$

和を計算しやすくするために、全体を $\frac{1}{6}$ でくくり、差の形を意図して変形する。

$$= \frac{1}{6} \left( \frac{2}{k} - \frac{3}{k+1} + \frac{1}{k+3} \right)$$

$$= \frac{1}{6} \left( \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+3} \right)$$

$$= \frac{1}{6} \left\{ 2\left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right) \right\}$$

この変形により、解法1で得られた式と実質的に同じ形になる。以降のシグマ計算および極限の計算は解法1と同様であり、極限値 $\frac{7}{36}$ を得る。

解説

分母の因数が等間隔に並んでいない分数数列の和の典型問題である。

分母が $k(k+1)(k+2)$ のように連続している場合は、一回の部分分数分解で綺麗に相殺する形を作ることができるが、本問は $(k+2)$ が抜けているため、分解を二段階で行うか、未定係数法を利用して3つの項に分ける必要がある。

シグマ計算においては、差の形を作ったあとに「どの項が消えずに残るか」を正確に把握することが重要である。$\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3}$ のように間隔が2つ空いている場合は、最初と最後にそれぞれ2項ずつが残るため、書き出して確認するとミスを防ぎやすい。

答え

$\frac{7}{36}$