数学A 場合の数 問題 44 解説

方針・初手

輪を作る並び方では、回転して一致するものは同じ並び方とみなす。したがって、基本は円順列の公式

$$ (n-1)! $$

を用いる。

ただし、隣り合う条件は「ひとかたまり」と見る。正面に向き合う条件は、$6$ 人の輪では互いに $3$ つ離れた位置にいることとして数える。男女交互は、男性 $3$ 人と女性 $3$ 人を交互に配置する。

解法1

(1)

$6$ 人を区別して輪に並べる円順列であるから、並び方は

$$ (6-1)!=5!=120 $$

である。

(2)

両親が隣り合うので、両親を $1$ つのかたまりと見る。

すると、

• 両親のかたまり
• 子供 $4$ 人

の合計 $5$ 個を輪に並べることになる。これは円順列なので

$$ (5-1)!=4! $$

通りである。

さらに、両親のかたまりの中では、父・母の並び方が

$$ 2! $$

通りある。

したがって、求める並び方は

$$ 4!\cdot 2!=24\cdot 2=48 $$

である。

(3)

両親が正面に向き合うとは、$6$ 人の輪で父と母が互いに反対側の位置にいることである。

回転による重複をなくすため、父の位置を固定する。すると、母の位置は父の正面にただ $1$ 通りに決まる。

残りの $4$ つの位置に子供 $4$ 人を並べればよいので、その並び方は

$$ 4!=24 $$

である。

(4)

男性は父と息子 $2$ 人の合計 $3$ 人、女性は母と娘 $2$ 人の合計 $3$ 人である。

まず男性 $3$ 人を輪に並べる。これは円順列なので

$$ (3-1)!=2! $$

通りである。

男性 $3$ 人を輪に並べると、その間に女性を入れる場所が $3$ か所できる。男女が交互に並ぶためには、この $3$ か所すべてに女性 $3$ 人を $1$ 人ずつ入れればよい。

女性 $3$ 人の入れ方は

$$ 3! $$

通りである。

したがって、求める並び方は

$$ 2!\cdot 3!=2\cdot 6=12 $$

である。

解説

この問題は、円順列の基本処理を条件ごとに使い分ける問題である。

隣り合う条件では、隣り合う人たちをひとかたまりにしてから円順列を作り、その内部の並び方を掛ける。

正面に向き合う条件では、円順列の回転の重複を避けるために、まず一方の位置を固定するのがよい。$6$ 人の輪では正面の位置が一意に定まるので、残りを並べるだけである。

男女交互では、人数が男性 $3$ 人、女性 $3$ 人で等しいため、先に片方の性別を円に並べ、そのすき間にもう片方を入れると数えやすい。

答え

(1)

$$ 120 $$

(2)

$$ 48 $$

(3)

$$ 24 $$

(4)

$$ 12 $$