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北海道大学 2025年文系第2問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

荳弱∴繧峨ｌ縺滓紛謨ｰ $a, b, c$ 縺ｮ螟ｧ蟆城未菫ゅ→蜿悶ｊ蠕励ｋ蛟､縺ｮ遽・峇縺九ｉ縲∝呵｣懊→縺ｪ繧狗ｵ・$(a, b, c)$ 繧偵☆縺ｹ縺ｦ蛻玲嫌縲√≠繧九＞縺ｯ譚｡莉ｶ縺ｫ繧医▲縺ｦ邨槭ｊ霎ｼ繧薙〒縺・￥縲ょ呵｣懊・邱乗焚縺ｯ譛螟ｧ縺ｧ繧・${}_5\mathrm{C}_{3} = 10$ 騾壹ｊ縺励°縺ｪ縺・・縺ｧ縲∵ｼ上ｌ縺ｪ縺剰ｪｿ縺ｹ荳翫￡繧九・

隗｣豕・

謨ｴ謨ｰ $a, b, c$ 縺ｯ $2 \leqq a < b < c \leqq 6$ 繧呈ｺ縺溘☆縲・縺励◆縺後▲縺ｦ縲∝推譁・ｭ励′蜿悶ｊ蠕励ｋ蛟､縺ｯ $2, 3, 4, 5, 6$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｧ縺ゅｋ縲・

(1)

荳咲ｭ牙ｼ・$a+b > c$ 繧呈ｺ縺溘☆ $(a, b, c)$ 縺ｮ邨・ｒ縲∝ｰ上＆縺・$a$ 縺ｮ蛟､縺九ｉ鬆・↓隱ｿ縺ｹ繧九・

$a=2$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・b \geqq 3$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c < 2+b$ 繧呈ｺ縺溘☆蠢・ｦ√′縺ゅｋ縲・ $b=3$ 縺ｪ繧峨・ $c < 5$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c=4$縲らｵ・・ $(2, 3, 4)$縲・ $b=4$ 縺ｪ繧峨・ $c < 6$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c=5$縲らｵ・・ $(2, 4, 5)$縲・ $b=5$ 縺ｪ繧峨・ $c < 7$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c=6$縲らｵ・・ $(2, 5, 6)$縲・

$a=3$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・b \geqq 4$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c < 3+b$ 繧呈ｺ縺溘☆蠢・ｦ√′縺ゅｋ縲・ $b=4$ 縺ｪ繧峨・ $c < 7$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c=5, 6$縲らｵ・・ $(3, 4, 5), (3, 4, 6)$縲・ $b=5$ 縺ｪ繧峨・ $c < 8$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c=6$縲らｵ・・ $(3, 5, 6)$縲・

$a=4$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・b \geqq 5$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c < 4+b$ 繧呈ｺ縺溘☆蠢・ｦ√′縺ゅｋ縲・ $b=5$ 縺ｪ繧峨・ $c < 9$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・c=6$縲らｵ・・ $(4, 5, 6)$縲・

$a=5$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・b \geqq 6$ 縺ｨ縺ｪ繧・$b < c \leqq 6$ 繧呈ｺ縺溘☆謨ｴ謨ｰ $b, c$ 縺ｯ蟄伜惠縺励↑縺・・

莉･荳翫ｈ繧翫∵擅莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆邨・・莉･荳九・7縺､縺ｧ縺ゅｋ縲・ $(2, 3, 4), (2, 4, 5), (2, 5, 6), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)$

(2)

荳咲ｭ牙ｼ・$a^2 + b^2 \geqq c^2$ 繧定・∴繧九・ $a>0, b>0, c>0$ 繧医ｊ縲√％縺ｮ荳咲ｭ牙ｼ上′謌舌ｊ遶九▽縺ｪ繧峨・ $(a+b)^2 > a^2+b^2 \geqq c^2$ 縺ｨ縺ｪ繧翫∽ｸ｡霎ｺ縺ｮ蟷ｳ譁ｹ譬ｹ繧偵→繧九％縺ｨ縺ｧ $a+b > c$ 縺悟ｿ・★謌舌ｊ遶九▽縺薙→縺後ｏ縺九ｋ縲・縺励◆縺後▲縺ｦ縲∵ｱゅａ繧狗ｵ・$(a, b, c)$ 縺ｯ (1) 縺ｧ豎ゅａ縺・縺､縺ｮ邨・・荳ｭ縺ｫ髯舌ｉ繧後ｋ縲ゅ％繧後ｉ縺ｫ縺､縺・※ $a^2+b^2$ 縺ｨ $c^2$ 縺ｮ螟ｧ蟆上ｒ豈碑ｼ・☆繧九・

$(a, b, c) = (2, 3, 4)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・2^2+3^2 = 13 < 16 = 4^2$ ・井ｸ埼←・・

$(a, b, c) = (2, 4, 5)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・2^2+4^2 = 20 < 25 = 5^2$ ・井ｸ埼←・・

$(a, b, c) = (2, 5, 6)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・2^2+5^2 = 29 < 36 = 6^2$ ・井ｸ埼←・・

$(a, b, c) = (3, 4, 5)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・3^2+4^2 = 25 \geqq 25 = 5^2$ ・磯←縺吶ｋ・・

$(a, b, c) = (3, 4, 6)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・3^2+4^2 = 25 < 36 = 6^2$ ・井ｸ埼←・・

$(a, b, c) = (3, 5, 6)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・3^2+5^2 = 34 < 36 = 6^2$ ・井ｸ埼←・・

$(a, b, c) = (4, 5, 6)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・4^2+5^2 = 41 \geqq 36 = 6^2$ ・磯←縺吶ｋ・・

莉･荳翫ｈ繧翫∵擅莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆邨・・ $(3, 4, 5), (4, 5, 6)$ 縺ｮ2縺､縺ｧ縺ゅｋ縲・

(3)

(2) 繧医ｊ $(a, b, c) = (3, 4, 5), (4, 5, 6)$ 縺ｮ蝣ｴ蜷医↓縺､縺・※閠・∴繧九・ $\triangle ABC$ 縺ｫ縺翫＞縺ｦ菴吝ｼｦ螳夂炊繧堤畑縺・ｋ縺ｨ縲・\cos \angle ACB$ 縺ｯ谺｡縺ｮ繧医≧縺ｫ險育ｮ励〒縺阪ｋ縲・

$$ \cos \angle ACB = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $$

$(a, b, c) = (3, 4, 5)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・

$$ \cos \angle ACB = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 25}{24} = 0 $$

$(a, b, c) = (4, 5, 6)$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・

$$ \cos \angle ACB = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} $$

隗｣隱ｬ

(1) 縺ｮ荳咲ｭ牙ｼ・$a+b>c$ 縺ｯ縲∵怙螟ｧ霎ｺ縺・$c$ 縺ｧ縺ゅｋ繧医≧縺ｪ荳芽ｧ貞ｽ｢縺ｮ謌千ｫ区擅莉ｶ縺ｫ逶ｸ蠖薙＠縺ｾ縺吶・2) 縺ｮ荳咲ｭ牙ｼ・$a^2+b^2 \geqq c^2$ 縺ｯ縲√◎縺ｮ荳芽ｧ貞ｽ｢縺檎峩隗剃ｸ芽ｧ貞ｽ｢縺ｾ縺溘・驪ｭ隗剃ｸ芽ｧ貞ｽ｢縺ｫ縺ｪ繧九◆繧√・譚｡莉ｶ縺ｧ縺吶・2) 縺梧・繧顔ｫ九▽縺ｪ繧・(1) 繧ょｿ・★謌舌ｊ遶九▽縺ｨ縺・≧蛹・性髢｢菫ゅ↓豌励▼縺代・縲・2) 縺ｧ縺ｯ (1) 縺ｮ邨先棡繧堤ｵ槭ｊ霎ｼ繧縺縺代〒貂医・縺溘ａ蜉ｹ邇・ｈ縺剰ｨ育ｮ励〒縺阪∪縺吶ょ呵｣懊→縺ｪ繧狗ｵ・・謨ｰ縺悟ｰ代↑縺・・縺ｧ縲∽ｸ縺､縺壹▽荳∝ｯｧ縺ｫ隱ｿ縺ｹ繧九％縺ｨ縺ｧ遒ｺ螳溘↓螳檎ｭ斐〒縺阪ｋ蝠城｡後〒縺吶・