数学A 場合の数 問題 46 解説

方針・初手

文字列 TAKOYAKI では、$A$ が $2$ 個、$K$ が $2$ 個あり、その他の $T,O,Y,I$ はそれぞれ $1$ 個ずつである。

したがって、まず重複を含む順列として総数を求める。次に「同じ文字が隣り合う」場合を除くため、$A$ が隣り合う場合、$K$ が隣り合う場合を包除原理で数える。

解法1

すべての並べ方を数える。

$8$ 文字のうち、$A$ が $2$ 個、$K$ が $2$ 個重複しているので、すべての並べ方は

$$ \frac{8!}{2!2!} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{8!}{2!2!} &= \frac{40320}{4} \\ 10080 \end{aligned} $$

となる。

次に、同じ文字が隣り合わない並べ方を数える。ここで同じ文字として問題になるのは、$A$ と $K$ だけである。

まず、$A$ が隣り合う場合を数える。$AA$ を $1$ つのかたまりと見ると、

$$ AA,\ K,\ K,\ T,\ O,\ Y,\ I $$

の $7$ 個を並べることになる。このうち $K$ が $2$ 個重複しているので、その並べ方は

$$ \begin{aligned} \frac{7!}{2!} &= 2520 \end{aligned} $$

である。

同様に、$K$ が隣り合う場合も、$KK$ を $1$ つのかたまりと見れば

$$ \begin{aligned} \frac{7!}{2!} &= 2520 \end{aligned} $$

通りである。

ただし、$A$ も隣り合い、$K$ も隣り合う場合は二重に引いている。この場合、$AA$ と $KK$ をそれぞれ $1$ つのかたまりと見ると、

$$ AA,\ KK,\ T,\ O,\ Y,\ I $$

の $6$ 個を並べることになるので、

$$ \begin{aligned} 6! &= 720 \end{aligned} $$

通りである。

したがって、少なくとも一方の同じ文字が隣り合う並べ方は

$$ \begin{aligned} 2520+2520-720 &= 4320 \end{aligned} $$

通りである。

よって、同じ文字が隣り合わない並べ方は

$$ \begin{aligned} 10080-4320 &= 5760 \end{aligned} $$

通りである。

解説

重複を含む順列では、同じ文字を区別して数えないために階乗で割る。

また、「同じ文字が隣り合わない」を直接数えるよりも、全体から「$A$ が隣り合う場合」または「$K$ が隣り合う場合」を引く方が自然である。このとき、$A$ と $K$ の両方が隣り合う場合を二重に引いてしまうので、包除原理で最後に足し戻す必要がある。

答え

$$ [4]=10080,\qquad [5]=5760 $$