数学A 場合の数(重複組合せ) 問題 7 解説

方針・初手

10個のセットは、球・立方体・正三角錐をそれぞれ何個入れるかで決まる。

したがって、3種類の個数を文字で置き、和が10になる非負整数解の個数を数える。

解法1

球の個数を $x$、立方体の個数を $y$、正三角錐の個数を $z$ とする。

（1） 全部の組合せでは、$x,y,z$ は $0$ 以上の整数であり、

$$ x+y+z=10 $$

を満たせばよい。

これは10個の同じものを3種類に分ける問題である。仕切りを2本入れると考えると、

$$ {}_{10+3-1}\mathrm{C}_{3-1}={}_{12}\mathrm{C}_{2} $$

である。

したがって、

$$ {}_{12}\mathrm{C}_{2}=\frac{12\cdot 11}{2}=66 $$

より、全部で $66$ 通りである。

（2） 球と立方体を少なくとも1個ずつ含むので、

$$ x\geqq 1,\quad y\geqq 1,\quad z\geqq 0 $$

である。

ここで、

$$ x'=x-1,\quad y'=y-1 $$

とおくと、$x',y',z$ は $0$ 以上の整数であり、

$$ x'+y'+z=8 $$

を満たす。

よって、この非負整数解の個数は

$$ {}_{8+3-1}\mathrm{C}_{3-1}={}_{10}\mathrm{C}_{2} $$

である。

したがって、

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{2}=\frac{10\cdot 9}{2}=45 $$

より、求める組合せは $45$ 通りである。

解法2

（2） については、余事象で数えることもできる。

全部の組合せは、（1） より $66$ 通りである。

ここから、「球を含まない」または「立方体を含まない」組合せを除けばよい。

球を含まない場合は、立方体と正三角錐の2種類で10個を作るので、

$$ y+z=10 $$

の非負整数解の個数である。したがって $11$ 通りである。

同様に、立方体を含まない場合も $11$ 通りである。

ただし、球も立方体も含まない場合、つまり正三角錐だけで10個作る場合を2回引いているので、1回分を戻す。この場合は $1$ 通りである。

よって、

$$ 66-11-11+1=45 $$

となる。

したがって、球と立方体を少なくとも1個ずつ含む組合せは $45$ 通りである。

解説

この問題は、積み木の並べ方ではなく、3種類をそれぞれ何個入れるかを数える問題である。

したがって、順列ではなく、非負整数解の個数として処理する。典型的には、$x+y+z=10$ のように置いて、重複組合せの公式

$$ {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r-1} $$

を用いる。

「少なくとも1個ずつ含む」という条件がある場合は、先にその分を取り除いてから残りを分配すると計算が簡単になる。

答え

(1)

$66$ 通り

(2)

$45$ 通り