数学A 完全順列･攪乱順列･モンモール数 問題 1 解説

方針・初手

カードの配り方は、5人へのカードの対応を表す順列として考える。 「自分のカードをもらう人」は、その順列の固定点である。

ちょうど $k$ 人が自分のカードをもらう確率は、

$$ \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{k}D_{5-k}}{5!} $$

で求められる。ただし、$D_n$ は $n$ 個のものを誰も正しい位置に置かない並べ方、すなわち完全順列の個数である。

解法1

まず、5人に5枚のカードを配る全体の場合の数は

$$ 5! = 120 $$

である。

次に、残った人数について完全順列の個数を用いる。必要な値は

$$ D_0=1,\quad D_2=1,\quad D_3=2,\quad D_4=9,\quad D_5=44 $$

である。

（1） ちょうど3人が自分のカードをもらう場合を考える。

まず、自分のカードをもらう3人を選ぶ方法は

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{3}=10 $$

通りである。

残り2人はどちらも自分のカードをもらってはいけないので、2人のカードを入れ替えるしかない。したがって

$$ D_2=1 $$

である。

よって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{3}D_2}{5!} &= \frac{10\cdot 1}{120} \\ \frac{1}{12} \end{aligned} $$

である。

（2） ちょうど2人が自分のカードをもらう場合を考える。

自分のカードをもらう2人を選ぶ方法は

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{2}=10 $$

通りである。

残り3人は誰も自分のカードをもらってはいけない。3人の完全順列は

$$ D_3=2 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}D_3}{5!} &= \frac{10\cdot 2}{120} \\ \frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。

（3） ちょうど1人が自分のカードをもらう場合を考える。

自分のカードをもらう1人を選ぶ方法は

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{1}=5 $$

通りである。

残り4人は誰も自分のカードをもらってはいけない。4人の完全順列は

$$ D_4=9 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{1}D_4}{5!} &= \frac{5\cdot 9}{120} \\ \frac{3}{8} \end{aligned} $$

である。

（4） 誰も自分のカードをもらわない場合を考える。

これは5人全員について完全順列になる場合である。5人の完全順列は

$$ D_5=44 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{D_5}{5!} &= \frac{44}{120} \\ \frac{11}{30} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題は、カードを配る操作を「5文字の順列」とみるのが重要である。自分のカードをもらう人数は、順列で元の位置に残る人数、すなわち固定点の個数に対応する。

「ちょうど $k$ 人が自分のカードをもらう」ときは、まず自分のカードをもらう $k$ 人を選び、残りの $5-k$ 人については誰も自分のカードをもらわないように並べる。したがって完全順列 $D_n$ を使う。

なお、ちょうど4人が自分のカードをもらうことは起こらない。4人が自分のカードをもらうと、残り1人も必ず自分のカードをもらうからである。

答え

(1)

$$ \frac{1}{12} $$

(2)

$$ \frac{1}{6} $$

(3)

$$ \frac{3}{8} $$

(4)

$$ \frac{11}{30} $$