数学A 条件付き確率 問題 7 解説

方針・初手

面の色は目の偶奇で決まる。したがって、出た面が同じ色であるとは、2つの目がともに奇数またはともに偶数、すなわち「2つの目の偶奇が同じ」であることを意味する。

条件つき確率なので、まず「和が $9$ 以上」となる場合を全体として数え、その中で同じ色となる場合を数える。

解法1

2個のサイコロを区別して、出た目を順序つきの組 $(a,b)$ で考える。

まず、和が $9$ 以上となる場合を数える。和ごとに並べると、

$$ \begin{array}{c|c} \text{和} & \text{場合の数} \\ \hline 9 & 4 \\ 10 & 3 \\ 11 & 2 \\ 12 & 1 \end{array} $$

である。実際、

$$ 4+3+2+1=10 $$

より、条件を満たす場合は全部で $10$ 通りである。

次に、この中で出た面が同じ色である場合を数える。

同じ色であるためには、2つの目がともに奇数またはともに偶数でなければならない。これは、2つの目の偶奇が同じということであり、そのとき和は偶数になる。

したがって、和が $9$ 以上のうち、同じ色になり得るのは和が $10$ または $12$ の場合だけである。

和が $10$ となる組は

$$ (4,6),\ (5,5),\ (6,4) $$

の $3$ 通りであり、いずれも偶奇が同じなので同じ色である。

和が $12$ となる組は

$$ (6,6) $$

の $1$ 通りであり、これも同じ色である。

よって、和が $9$ 以上で、かつ同じ色である場合は

$$ 3+1=4 $$

通りである。

したがって、求める条件つき確率は

$$ \frac{4}{10}=\frac{2}{5} $$

である。

解説

この問題では、色を直接考えるよりも、奇数面が青、偶数面が赤であることから「色の一致」を「偶奇の一致」に言い換えるのが要点である。

2つの目の偶奇が同じなら和は偶数、偶奇が異なれば和は奇数になる。条件「和が $9$ 以上」の中には和 $9,10,11,12$ があるが、同じ色になる可能性があるのは偶数和である $10,12$ の場合だけである。

条件つき確率では、全事象を $36$ 通りのまま考えるのではなく、条件を満たす $10$ 通りの中で割合を取ることに注意する。

答え

$$ \frac{2}{5} $$