数学A 条件付き確率 問題 8 解説

方針・初手

$A$ は「3回のうち少なくとも1回表」、$B$ は「2回目が裏」である。まず $A \cap B$ の確率を数え、次に条件付き確率

$$ P(B\mid A),\quad P(B\mid A^c) $$

を比較する。

解法1

$A \cap B$ は、「2回目が裏で、かつ3回すべてが裏ではない」という事象である。

2回目が裏である確率は $q=1-p$ であり、そのもとで1回目と3回目がともに裏でないことが必要である。したがって

$$ P(A\cap B)=q(1-q^2) $$

である。$q=1-p$ を代入すると

$$ \begin{aligned} f(p) &=(1-p){1-(1-p)^2} \\ &=(1-p)(2p-p^2) \\ &=p(1-p)(2-p) \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ y=f(p)=p(1-p)(2-p)\qquad 0\leqq p\leqq 1 $$

である。

グラフを描くために増減を調べる。

$$ f(p)=2p-3p^2+p^3 $$

より

$$ f'(p)=2-6p+3p^2 $$

である。$f'(p)=0$ を解くと

$$ 3p^2-6p+2=0 $$

より

$$ p=1\pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。区間 $0\leqq p\leqq 1$ に入るのは

$$ p=1-\frac{1}{\sqrt{3}} $$

だけである。

また、

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=0 $$

であり、極大値は

$$ \begin{aligned} f\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &=\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{3}\right) \\ &=\frac{2}{3\sqrt{3}} \\ &=\frac{2\sqrt{3}}{9} \end{aligned} $$

である。

よって、$y=f(p)$ のグラフは、$p=0$ と $p=1$ で $0$ となり、

$$ p=1-\frac{1}{\sqrt{3}} $$

で最大値

$$ \frac{2\sqrt{3}}{9} $$

をとる曲線である。

次に条件付き確率を求める。

$A$ は「少なくとも1回表」であるから、

$$ P(A)=1-q^3=1-(1-p)^3 $$

である。よって、$0<p<1$ において

$$ \begin{aligned} Q_1 &=P(B\mid A) \\ &=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \\ &=\frac{p(1-p)(2-p)}{1-(1-p)^3} \end{aligned} $$

である。分母を整理すると

$$ 1-(1-p)^3=p(3-3p+p^2) $$

だから、

$$ Q_1=\frac{(1-p)(2-p)}{3-3p+p^2} $$

となる。

一方、$A$ が起こらないとは、3回とも裏が出ることである。すなわち $A^c$ が起こったならば、2回目は必ず裏である。したがって

$$ Q_2=P(B\mid A^c)=1 $$

である。

したがって $Q_1<Q_2$ は

$$ \frac{(1-p)(2-p)}{3-3p+p^2}<1 $$

と同値である。分母 $3-3p+p^2$ は $0<p<1$ で正であるから、

$$ (1-p)(2-p)<3-3p+p^2 $$

を調べればよい。

左辺を展開すると

$$ (1-p)(2-p)=2-3p+p^2 $$

である。したがって

$$ 2-3p+p^2<3-3p+p^2 $$

となり、これは常に成り立つ。

ただし、$Q_1$ と $Q_2$ がともに条件付き確率として定義されるためには、$P(A)>0$ かつ $P(A^c)>0$ が必要である。これは

$$ 0<p<1 $$

である。

解説

(1) では、$B$ を先に固定すると考えやすい。2回目が裏であることを決めたあと、「少なくとも1回表」が失敗するのは3回とも裏の場合だけである。

(2) では、$A^c$ の意味を正確に読むことが重要である。$A^c$ は「表が1回も出ない」、すなわち「3回とも裏」であるから、その条件下では $B$ は必ず起こる。したがって $Q_2=1$ となる。

条件付き確率は条件とする事象の確率が $0$ のとき定義されない。そのため、最終的な $p$ の範囲では $p=0,1$ を除く必要がある。

答え

(1)

$$ f(p)=p(1-p)(2-p)\qquad 0\leqq p\leqq 1 $$

グラフは、$(0,0)$ と $(1,0)$ を通り、

$$ p=1-\frac{1}{\sqrt{3}} $$

で最大値

$$ \frac{2\sqrt{3}}{9} $$

をとる曲線である。

(2)

$$ 0<p<1 $$