数学A 条件付き確率 問題 9 解説

方針・初手

帽子を忘れる可能性があるのは、帽子を持っている状態で各家を出るときである。

Aで忘れる、Bで忘れる、Cで忘れるという3つの場合は互いに排反であり、家に帰って帽子がないと気づいたという条件のもとで、Bで忘れた条件付き確率を求めればよい。

解法1

帽子を忘れる確率は各回で $\dfrac{1}{5}$、忘れない確率は $\dfrac{4}{5}$ である。

Aで忘れる確率は

$$ \frac{1}{5} $$

である。

Bで忘れるためには、まずAで忘れず、次にBで忘れればよい。したがって、その確率は

$$ \begin{aligned} \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{5} &= \frac{4}{25} \end{aligned} $$

である。

Cで忘れるためには、AでもBでも忘れず、Cで忘れればよい。したがって、その確率は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{4}{5}\right)^2\cdot \frac{1}{5} &= \frac{16}{125} \end{aligned} $$

である。

家に帰って帽子を忘れてきたことに気づいたという事象は、A、B、Cのいずれかで忘れたということである。よって、その確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{5}+\frac{4}{25}+\frac{16}{125} &= \frac{25}{125}+\frac{20}{125}+\frac{16}{125} \\ \frac{61}{125} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める条件付き確率は

$$ \begin{aligned} \frac{\dfrac{4}{25}}{\dfrac{61}{125}} &= \frac{4}{25}\cdot \frac{125}{61} \\ \frac{20}{61} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「Bで忘れる確率」そのものを求めるのではなく、「帽子を忘れて帰ったことが分かっている」という条件のもとで、忘れた場所がBである確率を求める。

Aで忘れてしまえば、その後BやCで帽子を忘れることはない。したがって、A、B、Cで忘れる事象を単純に同じ確率と見なしてはいけない。後の家で忘れるためには、それ以前の家で忘れていないことが必要である。

答え

$$ \frac{20}{61} $$