数学A 条件付き確率 問題 14 解説

方針・初手

商品がもらえるのは、ゲーム A, B, C のすべてに成功したときだけである。

各ゲームの成功確率は

$$ P(S_A)=\frac{1}{3},\quad P(S_B)=\frac{1}{3},\quad P(S_C)=\frac{1}{10} $$

であり、失敗確率は

$$ P(F_A)=\frac{2}{3},\quad P(F_B)=\frac{2}{3},\quad P(F_C)=\frac{9}{10} $$

である。

「商品がもらえなかった」という条件のもとでの確率を求めるので、条件付き確率

$$ P(X\mid N)=\frac{P(X\cap N)}{P(N)} $$

を用いる。ただし、$N$ は「商品がもらえなかった」という事象とする。

解法1

(1)

商品がもらえるのは、A, B, C のすべてに成功したときである。各ゲームの結果は独立であるから、商品がもらえる確率は

$$ \begin{aligned} P(S_A\cap S_B\cap S_C) &= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{10} \\ \frac{1}{90} \end{aligned} $$

である。

したがって、商品がもらえる確率は

$$ \frac{1}{90} $$

である。

(2)

各ゲームを 1 回ずつ行う場合を考える。このとき、商品がもらえなかった確率は、すべて成功する場合の余事象であるから

$$ P(N)=1-\frac{1}{90}=\frac{89}{90} $$

である。

まず、A で失敗している確率を求める。A で失敗していれば、少なくとも 1 つ失敗しているので、商品はもらえない。したがって、$F_A\subset N$ であり、

$$ \begin{aligned} P(F_A\mid N) &= \frac{P(F_A)}{P(N)} \\ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{89}{90}} \\ \frac{60}{89} \end{aligned} $$

となる。

同様に、B で失敗している確率は

$$ \begin{aligned} P(F_B\mid N) &= \frac{P(F_B)}{P(N)} \\ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{89}{90}} \\ \frac{60}{89} \end{aligned} $$

である。

C で失敗している確率は

$$ \begin{aligned} P(F_C\mid N) &= \frac{P(F_C)}{P(N)} \\ \frac{\frac{9}{10}}{\frac{89}{90}} \\ \frac{81}{89} \end{aligned} $$

である。

ここでは A, B, C の 3 つをすべて行うので、複数のゲームで同時に失敗している場合がある。そのため、これらの確率の和が $1$ になる必要はない。

(3)

A, B, C の順に行い、途中で失敗したらそれ以降のゲームは行わない。この場合、商品がもらえないということは、A, B, C のどこかで初めて失敗するということである。

商品がもらえない確率は、やはり 3 つすべてに成功しない確率なので

$$ P(N)=1-\frac{1}{90}=\frac{89}{90} $$

である。

A で失敗しているとは、最初のゲーム A で失敗することである。したがって

$$ \begin{aligned} P(F_A\mid N) &= \frac{P(F_A)}{P(N)} \\ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{89}{90}} \\ \frac{60}{89} \end{aligned} $$

である。

B で失敗しているとは、A には成功し、B で失敗することである。よって

$$ \begin{aligned} P(S_A\cap F_B) &= \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3} \\ \frac{2}{9} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} P(\text{Bで失敗}\mid N) &= \frac{\frac{2}{9}}{\frac{89}{90}} \\ \frac{20}{89} \end{aligned} $$

となる。

C で失敗しているとは、A と B には成功し、C で失敗することである。よって

$$ \begin{aligned} P(S_A\cap S_B\cap F_C) &= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{9}{10} \\ \frac{1}{10} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} P(\text{Cで失敗}\mid N) &= \frac{\frac{1}{10}}{\frac{89}{90}} \\ \frac{9}{89} \end{aligned} $$

となる。

この場合は、商品がもらえなかったとき、失敗する場所は A, B, C のどれか 1 つに限られる。実際、

$$ \frac{60}{89}+\frac{20}{89}+\frac{9}{89}=1 $$

となる。

解説

この問題では、「商品がもらえなかった」という条件のもとで、どの失敗が起きていたかを考える点が重要である。

(2) では A, B, C をすべて行うため、A と B の両方で失敗するなど、失敗が重なる場合がある。したがって、A で失敗している確率、B で失敗している確率、C で失敗している確率をそれぞれ求めても、その和は $1$ にならない。

一方、(3) では途中で失敗した時点で終了するため、商品がもらえなかった場合の失敗場所は「Aで失敗」「Bで失敗」「Cで失敗」のいずれか 1 つに分かれる。そのため、求めた 3 つの条件付き確率の和は $1$ になる。

答え

(1)

$$ \frac{1}{90} $$

(2)

$$ P(\text{Aで失敗}\mid \text{商品なし})=\frac{60}{89} $$

$$ P(\text{Bで失敗}\mid \text{商品なし})=\frac{60}{89} $$

$$ P(\text{Cで失敗}\mid \text{商品なし})=\frac{81}{89} $$

(3)

$$ P(\text{Aで失敗}\mid \text{商品なし})=\frac{60}{89} $$

$$ P(\text{Bで失敗}\mid \text{商品なし})=\frac{20}{89} $$

$$ P(\text{Cで失敗}\mid \text{商品なし})=\frac{9}{89} $$