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数学A 期待値問題 9 解説

方針・初手

7枚を取り出して最大値 $X$ を考えるより、全体の場合の数をまず ${}_{9}\mathrm{C}_{7}$ とし、最大値が特定の値になる条件を数えるのが基本である。

最大値が $k$ であるためには、カード $k$ が含まれ、かつ $k+1,k+2,\dots,9$ は含まれない必要がある。

解法1

9枚のカードから7枚を選ぶので、すべての場合の数は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{7}=36 $$

である。

(1)

$X=8$ となるには、取り出した7枚の中に $8$ が含まれ、$9$ が含まれない必要がある。

残りの6枚は $1,2,\dots,7$ の7枚から選べばよいので、その場合の数は

$$ {}_{7}\mathrm{C}_{6}=7 $$

である。

したがって、

$$ P(X=8)=\frac{{}_{7}\mathrm{C}_{6}}{{}_{9}\mathrm{C}_{7}} =\frac{7}{36} $$

である。

(2)

7枚を取り出すので、最大値 $X$ は $7,8,9$ のいずれかである。

$X=k$ となるには、$k$ を必ず含み、残り6枚を $1,2,\dots,k-1$ から選べばよい。したがって

$$ P(X=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{6}}{{}_{9}\mathrm{C}_{7}} \qquad (k=7,8,9) $$

である。

それぞれ計算すると、

$$ P(X=7)=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{6}}{36}=\frac{1}{36} $$

$$ P(X=8)=\frac{{}_{7}\mathrm{C}_{6}}{36}=\frac{7}{36} $$

$$ P(X=9)=\frac{{}_{8}\mathrm{C}_{6}}{36}=\frac{28}{36} $$

である。

よって期待値は

$$ \begin{aligned} E(X) &=7\cdot \frac{1}{36} +8\cdot \frac{7}{36} +9\cdot \frac{28}{36} \\ &=\frac{7+56+252}{36} \\ &=\frac{315}{36} \\ &=\frac{35}{4} \end{aligned} $$

である。

解法2

7枚を取り出すことは、9枚の中から2枚を取り出さずに残すことと同じである。

(1)

$X=8$ となるには、$9$ は取り出されず、$8$ は取り出される必要がある。

つまり、取り出されない2枚のうち1枚は $9$ であり、もう1枚は $1,2,\dots,7$ のどれかである。

したがって場合の数は

$$ 7 $$

通りである。

取り出されない2枚の選び方は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{2}=36 $$

通りなので、

$$ P(X=8)=\frac{7}{36} $$

である。

(2)

取り出されない2枚に注目する。

(i)

$X=9$ の場合

$9$ が取り出されればよいので、取り出されない2枚はいずれも $1,2,\dots,8$ から選ばれる。

したがって

$$ {}_{8}\mathrm{C}_{2}=28 $$

通りである。

(ii)

$X=8$ の場合

取り出されない2枚は、$9$ と $1,2,\dots,7$ のうち1枚である。

したがって

$$ 7 $$

通りである。

(iii)

$X=7$ の場合

$8,9$ がともに取り出されない必要がある。

したがって

$$ 1 $$

通りである。

よって

$$ \begin{aligned} E(X) &=9\cdot \frac{28}{36} +8\cdot \frac{7}{36} +7\cdot \frac{1}{36} \\ &=\frac{252+56+7}{36} \\ &=\frac{315}{36} \\ &=\frac{35}{4} \end{aligned} $$

である。