数学A じゃんけんの確率 問題 3 解説

方針・初手

複数人のジャンケンでは、出た手が1種類または3種類のときはあいことなり、誰も脱落しない。出た手が2種類のときだけ、一方の手を出した人が勝ち残り、負けた手を出した人が脱落する。

A が最終的な勝者になるには、ある回のジャンケンで A だけが勝ち残ればよい。まず 1 回で A だけが残る確率を求め、次に 1 回目終了後に A が何人の中に残っているかで場合分けする。

解法1

まず、$n$ 人でジャンケンをして、その中に A が含まれているとする。この 1 回で A だけが勝ち残るには、A が出した手に対して、他の $n-1$ 人全員が A に負ける手を出せばよい。

A の手は何でもよく、他の人はそれぞれ A に負ける手を出す必要があるので、その確率は

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

である。

したがって、4 人で 1 回のジャンケンをして A がただ 1 人勝ち残る確率は

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27} $$

である。

よって、(1) の答えは

$$ \frac{1}{27} $$

である。

次に、2 回目のジャンケンで A が勝者となる確率を求める。

1 回目の後で A がまだ残っていて、かつ A がまだ勝者になっていない場合を考える。あり得る場合は、次の 3 通りである。

（i） 1 回目があいこで、4 人全員が残る場合

4 人の手がすべて同じ場合は $3$ 通り、3 種類すべての手が出る場合は

$$ 3^4-3-3(2^4-2)=81-3-42=36 $$

通りである。

したがって、あいこの場合は

$$ 3+36=39 $$

通りある。全事象は $3^4=81$ 通りなので、その確率は

$$ \frac{39}{81}=\frac{13}{27} $$

である。

この場合、2 回目も 4 人で行うので、2 回目で A だけが勝ち残る確率は

$$ \frac{1}{27} $$

である。

よって、この場合の確率は

$$ \frac{13}{27}\cdot\frac{1}{27} $$

である。

（ii） 1 回目で A を含む 2 人が勝ち残る場合

A と、B, C, D のうち 1 人が同じ勝つ手を出し、残り 2 人がそれに負ける手を出せばよい。

A の手を固定すると、A と同じ手を出す人の選び方は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}=3 $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{3}{27}=\frac{1}{9} $$

である。

この場合、2 回目は 2 人で行うので、A がただ 1 人勝ち残る確率は

$$ \frac{1}{3} $$

である。

したがって、この場合の確率は

$$ \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3} $$

である。

（iii） 1 回目で A を含む 3 人が勝ち残る場合

A と、B, C, D のうち 2 人が同じ勝つ手を出し、残り 1 人がそれに負ける手を出せばよい。

A の手を固定すると、A と同じ手を出す人の選び方は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3 $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{3}{27}=\frac{1}{9} $$

である。

この場合、2 回目は 3 人で行うので、A がただ 1 人勝ち残る確率は

$$ \frac{1}{9} $$

である。

したがって、この場合の確率は

$$ \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{9} $$

である。

以上より、2 回目のジャンケンで A が勝者となる確率は

$$ \frac{13}{27}\cdot\frac{1}{27} +\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3} +\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{9} $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{13}{729}+\frac{27}{729}+\frac{9}{729} &= \frac{49}{729} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、「A が勝つ」だけでなく「A だけが残る」ことが条件である。したがって、1 回のジャンケンで A が勝つ手を出していても、同じ勝つ手を出した人が他にいれば、その時点ではまだ A は勝者ではない。

2 回目で A が勝者になる場合は、1 回目終了時点で A が残っている人数が $4$ 人、$2$ 人、$3$ 人のどれかになる。ここを場合分けして、それぞれで次の 1 回に A だけが勝ち残る確率を掛けるのが基本方針である。

特に、1 回目があいこの場合も 2 回目で A が勝者になる可能性があるため、これを落とさないことが重要である。

答え

(1)

$$ \frac{1}{27} $$

(2)

$$ \frac{49}{729} $$