数学A じゃんけんの確率 問題 4 解説

方針・初手

「あいこ」は、3人が全員同じ手を出す場合と、3人がグー・チョキ・パーを1つずつ出す場合である。

したがって、各小問で

$$ P(\text{あいこ})=P(\text{全員同じ})+P(\text{全員異なる}) $$

として計算する。

解法1

グー，チョキ，パーをそれぞれ $G,T,P$ と表す。

(1)

このとき3人とも同じ確率分布であり、

$$ P(G)=\frac12,\qquad P(T)=\frac16,\qquad P(P)=1-\frac12-\frac16=\frac13 $$

である。

まず、全員同じ手を出す確率は

$$ \left(\frac12\right)^3+\left(\frac16\right)^3+\left(\frac13\right)^3 =\frac18+\frac1{216}+\frac1{27} =\frac{27+1+8}{216} =\frac16 $$

である。

次に、3人が互いに異なる手を出す確率を求める。3人が $G,T,P$ を1つずつ出す並び方は $3!=6$ 通りあり、各並びの確率は

$$ \frac12\cdot\frac16\cdot\frac13=\frac1{36} $$

である。よって、

$$ P(\text{全員異なる})=6\cdot\frac1{36}=\frac16 $$

である。

したがって、あいこになる確率は

$$ \frac16+\frac16=\frac13 $$

である。

(2)

条件より、Bの確率分布は

$$ B:\left(\frac12,\frac12,0\right) $$

であり、Cの確率分布は

$$ C:\left(0,\frac12,\frac12\right) $$

である。

Aの確率分布を

$$ A:(a_1,a_2,1-a_1-a_2) $$

とおく。

まず、全員同じ手を出す場合を考える。グーはCが出さず、パーはBが出さないので、全員同じになる可能性があるのはチョキだけである。よって、

$$ P(\text{全員同じ}) =a_2\cdot\frac12\cdot\frac12 =\frac{a_2}{4} $$

である。

次に、全員異なる手を出す場合を考える。確率が $0$ になる場合を除くと、可能な組合せは次の3通りである。

$$ (A,B,C)=(G,T,P),(T,G,P),(P,G,T) $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} P(\text{全員異なる}) &=a_1\cdot\frac12\cdot\frac12 +a_2\cdot\frac12\cdot\frac12 +(1-a_1-a_2)\cdot\frac12\cdot\frac12\\ &=\frac{a_1+a_2+1-a_1-a_2}{4}\\ &=\frac14 \end{aligned} $$

である。

よって、あいこになる確率は

$$ \frac{a_2}{4}+\frac14=\frac{1+a_2}{4} $$

である。

ここで $0\leqq a_2\leqq 1$ であり、最小にするには $a_2=0$ とすればよい。このとき

$$ P(\text{あいこ})_{\min}=\frac{1+0}{4}=\frac14 $$

である。

(3)

条件より、Cはグー・チョキ・パーをそれぞれ等確率で出す。すなわち

$$ C:\left(\frac13,\frac13,\frac13\right) $$

である。

ここで、AとBがどのような手を出したかを固定して考える。

AとBが同じ手を出した場合、Cもその同じ手を出せば全員同じとなり、あいこになる。Cがその手を出す確率は $\frac13$ である。

AとBが異なる手を出した場合、Cが残り1種類の手を出せば3人が互いに異なる手となり、あいこになる。Cがその残り1種類の手を出す確率も $\frac13$ である。

つまり、AとBの出し方にかかわらず、Cの3通りの手のうち、あいこになる手はちょうど1通りである。したがって、

$$ P(\text{あいこ})=\frac13 $$

である。

よって、あいこにならない確率は

$$ 1-\frac13=\frac23 $$

である。

解説

(1)は、全員同じ場合と全員異なる場合を分けて数えるだけでよい。ただし、全員異なる場合は $3!=6$ 通りの並びがある点に注意する。

(2)では、Aの確率だけが変数である。Bはパーを出さず、Cはグーを出さないので、全員同じになるのはチョキだけである。一方、全員異なる場合の確率は $a_1,a_2$ によらず常に $\frac14$ になる。

(3)では、Cが3つの手を等確率で出すことが本質である。AとBが同じ手でも異なる手でも、Cがあいこにする手は必ず1通りだけなので、あいこの確率は常に $\frac13$ である。

答え

(1)

$$ \frac13 $$

(2)

$$ \frac14 $$

(3)

$$ \frac23 $$