数学A 確率 問題 2 解説

方針・初手

さいころ3個の出方はすべて区別して考え、全事象は $6^3=216$ 通りである。

ただし $X,Y,Z$ は出た目そのものではなく、小さい順に並べ替えたものである。したがって、条件を満たす組 $(X,Y,Z)$ を数えたあと、元の3個のさいころへの並び方の数を掛ける。

解法1

(1)

条件

$$ Y=\frac{1}{2}(X+Z) $$

は

$$ X,Y,Z $$

が等差数列になることを意味する。

まず、3つの目がすべて等しい場合を考える。このとき

$$ (X,Y,Z)=(1,1,1),(2,2,2),\ldots,(6,6,6) $$

の $6$ 通りがあり、それぞれ元のさいころの出方は $1$ 通りである。よって $6$ 通りである。

次に、3つの目がすべて異なる場合を考える。このとき

$$ (X,Y,Z)=(a,a+d,a+2d) $$

と表せる。ただし $d\geqq 1$ であり、

$$ 1\leqq a,\qquad a+2d\leqq 6 $$

を満たす。

$d=1$ のとき

$$ a=1,2,3,4 $$

であり、$4$ 通り。

$d=2$ のとき

$$ a=1,2 $$

であり、$2$ 通り。

$d\geqq 3$ のとき $a+2d\leqq 6$ を満たす正の整数 $a$ は存在しない。

したがって、3つの目がすべて異なる等差数列は

$$ 4+2=6 $$

通りである。

この場合、3つのさいころへの並び方はそれぞれ $3!=6$ 通りあるので、元の出方は

$$ 6\cdot 6=36 $$

通りである。

よって条件を満たす出方の総数は

$$ 6+36=42 $$

である。したがって求める確率は

$$ \frac{42}{216}=\frac{7}{36} $$

である。

(2)

$Y$ は3つの目の中央値である。

まず、$Y\leqq k$ となる条件を考える。これは、3個のさいころのうち少なくとも2個が $k$ 以下であることと同値である。

したがって

$$ P(Y\leqq 4) $$

は、3個のうち少なくとも2個が $4$ 以下である確率である。出方の数で数えると、

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}4^2\cdot 2+4^3 =3\cdot 16\cdot 2+64 =160 $$

通りである。

同様に、

$$ P(Y\leqq 2) $$

は、3個のうち少なくとも2個が $2$ 以下である場合であるから、

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}2^2\cdot 4+2^3 =3\cdot 4\cdot 4+8 =56 $$

通りである。

求める条件は

$$ 3\leqq Y\leqq 4 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} P(3\leqq Y\leqq 4) &= P(Y\leqq 4)-P(Y\leqq 2) \end{aligned} $$

である。よって、条件を満たす出方の数は

$$ 160-56=104 $$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{104}{216}=\frac{13}{27} $$

である。

解説

この問題では、$X,Y,Z$ が「出た順」ではなく「小さい順に並べた値」である点が重要である。

(1) は、条件式を

$$ 2Y=X+Z $$

と見て、$X,Y,Z$ が等差数列であることに気づくのが初手である。ただし、$(1,1,1)$ のように3つが等しい場合と、$(1,2,3)$ のように3つが異なる場合では、元のさいころへの並び方の数が異なるため、そこを分けて数える必要がある。

(2) は、中央値そのものを直接数えるよりも、$Y\leqq k$ を「少なくとも2個が $k$ 以下」と言い換えると処理しやすい。$3\leqq Y\leqq 4$ は $Y\leqq 4$ から $Y\leqq 2$ を除けばよい。

答え

(1)

$$ \frac{7}{36} $$

(2)

$$ \frac{13}{27} $$