数学A 確率 問題 6 解説

方針・初手

各回の移動では、現在いる頂点以外の $3$ 頂点のいずれかへ等確率で移る。したがって、$3$ 回の移動経路は全部で $3^3$ 通りあり、それぞれの確率は等しい。

そこで、$A$ から出発して $3$ 回目に $A$ にいる経路を数える。

解法1

$P$ は最初に $A$ から出発する。1回目の移動先は $B,C,D$ のいずれかである。

対称性より、1回目に $B$ へ移動した場合だけを考え、最後に $3$ 回目で $A$ に戻る経路を数える。

1回目に $B$ へ移動した後、2回目の移動先は $A,C,D$ のいずれかである。

• $A \to B \to A$ と進むと、3回目は $A$ 以外へ移動しなければならないので、3回目に $A$ にはいない。
• $A \to B \to C$ と進むと、3回目に $C$ から $A$ へ移動できる。
• $A \to B \to D$ と進むと、3回目に $D$ から $A$ へ移動できる。

したがって、1回目の移動先が $B$ のとき、条件を満たす経路は

$$ A \to B \to C \to A,\quad A \to B \to D \to A $$

の $2$ 通りである。

1回目の移動先は $B,C,D$ の $3$ 通りあり、それぞれ同様に $2$ 通りずつ条件を満たすので、条件を満たす経路は

$$ 3 \times 2 = 6 $$

通りである。

一方、$3$ 回の移動では各回に $3$ 通りの選択があるから、全経路は

$$ 3^3=27 $$

通りである。

各経路の確率はすべて

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^3 $$

で等しいので、求める確率は

$$ \frac{6}{27}=\frac{2}{9} $$

である。

解説

この問題では、正四面体の具体的な形よりも「どの頂点からも、他の $3$ 頂点へ等確率で移動する」という対称性が本質である。

注意すべき点は、$2$ 回目に $A$ に戻ってしまう経路は、$3$ 回目には必ず $A$ から出ていくため、最終的に $A$ にはいないことである。したがって、$3$ 回目に $A$ にいるには、$2$ 回目には $A$ 以外の頂点にいなければならない。

答え

$$ \frac{2}{9} $$