数学A 確率 問題 7 解説

方針・初手

不良品が含まれる個数は二項分布で考える。直接「少なくとも」を数えるよりも、余事象を用いて $p_1, p_2$ を表し、$p_2<p_1$ を不等式として解く。

解法1

各部品が不良品である確率を $p$ とし、良品である確率を $1-p$ とする。ただし $0\leqq p\leqq 1$ である。

3個抜き取ったとき、不良品が少なくとも1個見つかる確率 $p_1$ は、余事象を用いて

$$ p_1=1-(1-p)^3 $$

である。

また、6個抜き取ったとき、不良品が少なくとも2個見つかる確率 $p_2$ は、「不良品が0個または1個」の余事象を用いて

$$ p_2=1-{(1-p)^6+{}_6C_1p(1-p)^5} $$

となる。したがって

$$ p_2=1-{(1-p)^6+6p(1-p)^5} $$

である。

ここで $q=1-p$ とおく。$0\leqq p\leqq 1$ より $0\leqq q\leqq 1$ である。

このとき

$$ p_1=1-q^3 $$

であり、また $p=1-q$ より

$$ \begin{aligned} p_2 &=1-{q^6+6(1-q)q^5}\\ &=1-{q^6+6q^5-6q^6}\\ &=1-6q^5+5q^6 \end{aligned} $$

となる。

条件 $p_2<p_1$ は

$$ 1-6q^5+5q^6<1-q^3 $$

である。整理すると

$$ q^3-6q^5+5q^6<0 $$

すなわち

$$ q^3(1-6q^2+5q^3)<0 $$

である。

ここで

$$ 1-6q^2+5q^3=5q^3-6q^2+1 $$

であり、これは

$$ 5q^3-6q^2+1=(q-1)(5q^2-q-1) $$

と因数分解できる。

さらに

$$ 5q^2-q-1=0 $$

を解くと

$$ q=\frac{1\pm\sqrt{21}}{10} $$

である。

したがって

$$ q^3(q-1)\left(q-\frac{1+\sqrt{21}}{10}\right)\left(q-\frac{1-\sqrt{21}}{10}\right)<0 $$

を、$0\leqq q\leqq 1$ の範囲で考えればよい。

この範囲では

$$ \frac{1-\sqrt{21}}{10}<0 $$

であるから関係する境界は

$$ q=0,\quad q=\frac{1+\sqrt{21}}{10},\quad q=1 $$

である。符号を調べると

$$ \frac{1+\sqrt{21}}{10}<q<1 $$

のときに不等式が成り立つ。

最後に $q=1-p$ に戻すと

$$ \frac{1+\sqrt{21}}{10}<1-p<1 $$

であるから

$$ 0<p<1-\frac{1+\sqrt{21}}{10} $$

すなわち

$$ 0<p<\frac{9-\sqrt{21}}{10} $$

である。

解説

この問題では、「少なくとも1個」「少なくとも2個」をそのまま足し上げるより、余事象で処理するのが自然である。

特に $p_2$ については、不良品が少なくとも2個見つかる確率を直接求めると、2個から6個までを足す必要がある。一方で余事象を使えば、「0個または1個」だけを計算すればよい。

また、$q=1-p$ とおくことで式が簡単になり、因数分解しやすくなる。最後に $p$ の範囲へ戻す際、不等号の向きと端点の扱いに注意が必要である。条件は $p_2<p_1$ であり、等号は含まない。

答え

$$ 0<p<\frac{9-\sqrt{21}}{10} $$