数学A 確率 問題 15 解説

方針・初手

各さいころの目は少なくとも $1$ である。したがって、$n$ 個のさいころの目の和の最小値は $n$ である。

求める和は $n+3$ なので、最小値 $n$ からちょうど $3$ だけ増える場合を数えればよい。

解法1

$n$ 個のさいころの目を

$$ a_1,a_2,\ldots,a_n $$

とする。各 $a_i$ は $1,2,\ldots,6$ のいずれかであり、

$$ a_1+a_2+\cdots+a_n=n+3 $$

となる確率を求める。

ここで

$$ x_i=a_i-1 $$

とおくと、各 $x_i$ は $0,1,\ldots,5$ のいずれかであり、

$$ x_1+x_2+\cdots+x_n=3 $$

となる。

ただし、和が $3$ であるから、各 $x_i$ が $5$ を超えることはない。したがって、条件 $x_i\leqq 5$ は自動的に満たされ、非負整数解

$$ x_1+x_2+\cdots+x_n=3 $$

の個数を数えればよい。

この非負整数解の個数は、重複組合せより

$$ {}*{n+3-1}C*{3}={}_{n+2}C_3 $$

である。

一方、$n$ 個のさいころの出方は全部で

$$ 6^n $$

通りであり、どの出方も同様に確からしい。

よって、求める確率は

$$ \frac{{}_{n+2}C_3}{6^n} $$

である。

これを整理すると、

$$ {}_{n+2}C_3=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{n+2}C_3}{6^n} &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6^{n+1}} \end{aligned} $$

となる。

解法2

最小の和は、すべてのさいころが $1$ を出すときの $n$ である。和を $n+3$ にするには、全体で $3$ だけ増やせばよい。

増え方を場合分けする。

（i） ある1個のさいころだけが $3$ 増える場合

つまり、あるさいころが $4$ を出し、残りがすべて $1$ を出す場合である。この場合の数は

$$ n $$

通りである。

（ii） あるさいころが $2$ 増え、別のさいころが $1$ 増える場合

つまり、一方が $3$ を出し、もう一方が $2$ を出し、残りがすべて $1$ を出す場合である。

$3$ を出すさいころを選び、さらに $2$ を出すさいころを選ぶので、この場合の数は

$$ n(n-1) $$

通りである。

（iii） 3個のさいころがそれぞれ $1$ ずつ増える場合

つまり、3個のさいころが $2$ を出し、残りがすべて $1$ を出す場合である。この場合の数は

$$ {}_{n}C_3 $$

通りである。

したがって、条件を満たす出方の総数は

$$ n+n(n-1)+{}_{n}C_3 $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} n+n(n-1)+{}*{n}C_3 &=n+n(n-1)+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\ &={}*{n+2}C_3 \end{aligned} $$

となる。

よって、全事象の数が $6^n$ 通りであることから、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{n+2}C_3}{6^n} &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6^{n+1}} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、さいころの目そのものを直接扱うよりも、「すべて $1$ が出た状態」からの増加分を考えるのが自然である。

和が $n+3$ という形になっているため、最小値 $n$ との差が $3$ しかない。このため、各さいころの上限 $6$ を気にせず、非負整数解の個数として数えられる。

解法1は重複組合せによる標準的な解法であり、最も簡潔である。解法2は増加分の分け方を具体的に数える方法で、なぜ ${}_{n+2}C_3$ が現れるのかを確認しやすい。

答え

$$ \boxed{\frac{{}_{n+2}C_3}{6^n}} $$

すなわち

$$ \boxed{\frac{n(n+1)(n+2)}{6^{n+1}}} $$