数学A 確率 問題 14 解説

方針・初手

前半の試行回数を $n$ 回、前半で表が出た回数を $x$ 回とおく。

後半では $200$ 回中 $99$ 回表が出ており、前半と後半を通した表の割合がちょうど $0.5$ である。まずこの条件から $n$ と $x$ の関係を作り、そのうえで前半の割合が四捨五入して $0.510$ になる条件を不等式で表す。

解法1

前半の試行回数を $n$ 回、前半で表が出た回数を $x$ 回とする。

後半では $200$ 回中 $99$ 回表が出たので、全体で表が出た回数は $x+99$ 回、全体の試行回数は $n+200$ 回である。

全体の表の割合がちょうど $0.5$ だから、

$$ \frac{x+99}{n+200}=\frac{1}{2} $$

である。これを整理すると、

$$ 2x+198=n+200 $$

より、

$$ n=2x-2 $$

となる。したがって、

$$ x=\frac{n+2}{2} $$

である。

よって、前半で表が出た割合は

$$ \begin{aligned} \frac{x}{n} &= \frac{n+2}{2n} \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{n} \end{aligned} $$

である。

この割合が小数第 $4$ 位を四捨五入して $0.510$ になるための条件は、

$$ 0.5095 \leqq \frac{x}{n} < 0.5105 $$

である。

したがって、

$$ 0.5095 \leqq \frac{1}{2}+\frac{1}{n} < 0.5105 $$

となる。両辺から $\frac{1}{2}$ を引くと、

$$ 0.0095 \leqq \frac{1}{n} < 0.0105 $$

である。

これを分数で表すと、

$$ \frac{95}{10000} \leqq \frac{1}{n} < \frac{105}{10000} $$

すなわち、

$$ \frac{19}{2000} \leqq \frac{1}{n} < \frac{21}{2000} $$

である。

$n$ は正の整数なので、逆数をとると不等号の向きに注意して、

$$ \frac{2000}{21} < n \leqq \frac{2000}{19} $$

となる。

ここで、

$$ \frac{2000}{21}=95.238\cdots,\qquad \frac{2000}{19}=105.263\cdots $$

であるから、

$$ 96 \leqq n \leqq 105 $$

である。

また、問題文より前半の試行回数は $103$ 回以上なので、

$$ 103 \leqq n \leqq 105 $$

である。

さらに、

$$ x=\frac{n+2}{2} $$

が整数でなければならないので、$n$ は偶数である。

したがって、$103 \leqq n \leqq 105$ の範囲にある偶数は

$$ n=104 $$

のみである。

実際、このとき

$$ x=\frac{104+2}{2}=53 $$

であり、前半の表の割合は

$$ \frac{53}{104}=0.509615\cdots $$

となる。これは小数第 $4$ 位を四捨五入して $0.510$ である。

また全体では、

$$ \begin{aligned} \frac{53+99}{104+200} &= \frac{152}{304} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

となり、条件を満たす。

解説

この問題では、前半の割合 $0.510$ だけを見ると前半の回数が多数ありそうに見えるが、全体の割合がちょうど $0.5$ であることから、前半の表の割合は

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{n} $$

という非常に限定された形になる。

四捨五入して $0.510$ という条件は、単に $\frac{x}{n}=0.510$ としてはいけない。正しくは

$$ 0.5095 \leqq \frac{x}{n} < 0.5105 $$

という範囲で考える必要がある。

最後に、$x$ が整数であることから $n$ の偶奇条件が出る点も重要である。

答え

前半で硬貨を投げた回数は

$$ 104 $$

回である。