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数学A 確率問題 17 解説

方針・初手

黒球を取り出した時点で試行をやめるので、問題は「黒球より前にどの色の球が出ているか」を調べることに帰着される。

同じ色の球も区別して考えると、6個の球の並び方はすべて同様に確からしい。したがって、黒球の位置や、黒球より前にある白球・赤球の個数を数えればよい。

解法1

（1）赤球がちょうど2個含まれるとは、2個の赤球がどちらも黒球より前に出るということである。

2個の赤球と1個の黒球だけに注目する。この3個の相対的な順序において、黒球が最後に来れば、2個の赤球はどちらも黒球より前に出る。

黒球がこの3個の中で1番目、2番目、3番目に来る確率は等しいので、求める確率は

$$ \frac{1}{3} $$

である。

（2）黒球より前に取り出された球の個数を $k$ 個とする。黒球の位置は1番目から6番目まで同様に確からしいので、$k=0,1,2,3,4,5$ はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{6}$ で起こる。

黒球より前にある $k$ 個の球は、白球3個、赤球2個の合計5個から選ばれる。白球の個数を $w$、赤球の個数を $r$ とすると、求める条件は

$$ w>r $$

である。

各 $k$ について、条件を満たす確率を数える。

$k=0$ のとき、$w=r=0$ なので条件を満たさない。

$k=1$ のとき、白球1個を選ぶ場合だけであるから

$$ \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}}{{}_{5}\mathrm{C}_{1}}=\frac{3}{5} $$

である。

$k=2$ のとき、白球2個を選ぶ場合だけであるから

$$ \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}}=\frac{3}{10} $$

である。

$k=3$ のとき、可能なのは白球3個赤球0個、または白球2個赤球1個であるから

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{3}{}_{2}\mathrm{C}_{0}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{5}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{1+6}{10} \\ \frac{7}{10} \end{aligned} $$

である。

$k=4$ のとき、条件を満たすのは白球3個赤球1個の場合だけであるから

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{3}{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{5}\mathrm{C}_{4}} &= \frac{2}{5} \end{aligned} $$

である。

$k=5$ のとき、白球3個赤球2個がすべて黒球より前に出るので、条件を満たす確率は $1$ である。

したがって求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{6} \left( 0+\frac{3}{5}+\frac{3}{10}+\frac{7}{10}+\frac{2}{5}+1 \right) &= \frac{1}{6}\cdot 3 \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。