数学A 確率 問題 18 解説

方針・初手

直前の記号と同じ記号が出る確率が $p$ なので、直前と異なる記号が出る確率は $1-p$ である。

最初に $\times$ がすでに $1$ 個出ているため、勝つには、操作で出る $\times$ が $2$ 個になる前に、$\bigcirc$ を $n$ 個出せばよい。したがって、成功する表示列は、最後が $n$ 個目の $\bigcirc$ であり、その前までに操作で出た $\times$ が $0$ 個または $1$ 個であるものに限られる。

解法1

$q=1-p$ とおく。

$P_2$ の計算

$\bigcirc$ が $2$ 個出る前に、操作で $\times$ が $2$ 個出たら失敗である。したがって、成功する列は次の3通りである。ただし、最初から表示されている $\times$ は書かない。

(i)

$\bigcirc\bigcirc$ の場合

最初の $\times$ から $\bigcirc$ に変わり、その後 $\bigcirc$ が続くので、確率は

$$ q p $$

である。

(ii)

$\times\bigcirc\bigcirc$ の場合

最初の $\times$ が続き、その後 $\bigcirc$ に変わり、さらに $\bigcirc$ が続くので、確率は

$$ p q p=q p^2 $$

である。

(iii)

$\bigcirc\times\bigcirc$ の場合

最初の $\times$ から $\bigcirc$ に変わり、次に $\times$ に変わり、さらに $\bigcirc$ に変わるので、確率は

$$ q\cdot q\cdot q=q^3 $$

である。

よって

$$ P_2=q p+q p^2+q^3 $$

である。$q=1-p$ を戻すと、

$$ P_2=(1-p)p+(1-p)p^2+(1-p)^3 $$

である。

$n\geqq 3$ の計算

成功するには、最後に $n$ 個目の $\bigcirc$ が出る必要がある。また、操作で出る $\times$ は高々 $1$ 個でなければならない。

まず、操作で $\times$ が一度も出ない場合を考える。このとき列は

$$ \bigcirc\bigcirc\cdots\bigcirc $$

であり、$\bigcirc$ が $n$ 個続く。最初の $\times$ から $\bigcirc$ に変わる確率が $q$、その後 $\bigcirc$ が $n-1$ 回続く確率が $p^{n-1}$ なので、この場合の確率は

$$ q p^{n-1} $$

である。

次に、操作で $\times$ がちょうど $1$ 個出る場合を考える。このとき、最後は $n$ 個目の $\bigcirc$ でなければならないから、操作で出る記号列の長さは $n+1$ であり、そのうち $n$ 個が $\bigcirc$、$1$ 個が $\times$ である。

$\times$ が最初に出る場合、列は

$$ \times\bigcirc\bigcirc\cdots\bigcirc $$

である。最初の $\times$ が続く確率が $p$、次に $\bigcirc$ に変わる確率が $q$、その後 $\bigcirc$ が $n-1$ 回続く確率が $p^{n-1}$ であるから、確率は

$$ p q p^{n-1}=q p^n $$

である。

一方、$\times$ が最初ではない位置に出る場合を考える。$\times$ の位置は、最後以外の $n$ 個の位置のうち、最初を除いた $n-1$ 通りである。

このとき、最初は $\bigcirc$ に変わり、途中で一度だけ $\times$ に変わり、直後に再び $\bigcirc$ に変わる。したがって、記号が変わる箇所が

$$ \times\to\bigcirc,\quad \bigcirc\to\times,\quad \times\to\bigcirc $$

の3回あるので、その部分の確率は $q^3$ である。

残りの部分では $\bigcirc$ が続く。$\times$ の位置によらず、$\bigcirc$ が続く回数の合計は $n-2$ 回であるから、各場合の確率は

$$ q^3 p^{n-2} $$

である。

このような位置は $n-1$ 通りあるので、この場合全体の確率は

$$ (n-1)q^3p^{n-2} $$

である。

以上より、$n\geqq 3$ に対して

$$ P_n=q p^{n-1}+q p^n+(n-1)q^3p^{n-2} $$

である。$q=1-p$ を戻すと、

$$ P_n=(1-p)p^{n-1}+(1-p)p^n+(n-1)(1-p)^3p^{n-2} $$

である。

解説

この問題では、単に $\bigcirc$ と $\times$ の個数だけを見ると不十分である。次に出る記号の確率が直前の記号に依存するため、表示列の並び順まで考える必要がある。

ただし、最初に $\times$ がすでに $1$ 個出ているので、成功する列には操作後の $\times$ が高々 $1$ 個しか含まれない。この制約により、成功する列はかなり少なくなる。したがって、成功する列だけを直接数え上げるのが最も簡潔である。

特に、$\times$ が途中に1回だけ現れる場合は、$\bigcirc\to\times\to\bigcirc$ という2回の変化が必ず生じる。そのため、確率に $(1-p)^3$ が現れる点が重要である。

答え

(1)

$$ P_2=(1-p)p+(1-p)p^2+(1-p)^3 $$

(2)

$n\geqq 3$ のとき

$$ P_n=(1-p)p^{n-1}+(1-p)p^n+(n-1)(1-p)^3p^{n-2} $$