数学A 確率 問題 19 解説

方針・初手

$n$ 回のさいころ投げの全事象は $6^n$ 通りである。

「出た目の数が何種類か」を数える問題なので、使われる目の種類を先に選び、その選んだ目がすべて少なくとも1回ずつ出るような列を数える。

解法1

（1） 出た目がすべて $1$ になるには、$n$ 回すべてで $1$ が出ればよい。

各回で $1$ が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ であり、各回は独立であるから、求める確率は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{6}\right)^n &= \frac{1}{6^n} \end{aligned} $$

である。

（2） 出た目の数が $1$ と $2$ の2種類になるとは、$n$ 回の出目がすべて $1$ または $2$ であり、かつ $1,2$ がどちらも少なくとも1回は出るということである。

まず、各回の出目が $1$ または $2$ である列は $2^n$ 通りある。

このうち、すべて $1$ である列と、すべて $2$ である列は、出た目の種類が1種類になってしまうので除く。したがって条件を満たす列は

$$ 2^n-2 $$

通りである。

全事象は $6^n$ 通りだから、求める確率は

$$ \frac{2^n-2}{6^n} $$

である。

（3） 出た目の数が3種類になるとは、6種類の目のうちちょうど3種類が現れ、その3種類がすべて少なくとも1回ずつ出るということである。

まず、現れる3種類の目を選ぶ方法は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

選ばれた3種類の目だけを使って $n$ 回の出目の列を作ると、全部で $3^n$ 通りある。ただし、この中には3種類すべてが出ていない列も含まれる。

そこで、3種類のうち少なくとも1種類が出ない列を除く。

1種類が出ないようにするには、出ない目を3通りに選び、残り2種類だけで列を作ればよいので、いったん

$$ 3\cdot 2^n $$

通りを引く。

しかし、このとき1種類だけでできている列、つまり2種類の目が出ていない列を重複して引いている。1種類だけでできている列は、使う目の選び方が3通りあるので、これを足し戻す。

よって、選ばれた3種類の目がすべて少なくとも1回ずつ出る列の数は

$$ 3^n-3\cdot 2^n+3 $$

である。

したがって条件を満たす列の総数は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3}\left(3^n-3\cdot 2^n+3\right) $$

である。

全事象は $6^n$ 通りだから、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}\left(3^n-3\cdot 2^n+3\right)}{6^n} &= \frac{20\left(3^n-3\cdot 2^n+3\right)}{6^n} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題は、「どの目が出るか」と「選んだ目がすべて出るか」を分けて考えるのが基本である。

特に （3） では、単に ${}_{6}\mathrm{C}_{3}3^n$ としてしまうと、選んだ3種類のうち実際には2種類以下しか出ていない場合まで数えてしまう。したがって、包除原理で「3種類すべてが少なくとも1回出る」条件を正しく処理する必要がある。

答え

(1)

$$ \frac{1}{6^n} $$

(2)

$$ \frac{2^n-2}{6^n} $$

(3)

$$ \frac{20\left(3^n-3\cdot 2^n+3\right)}{6^n} $$