数学A 確率 問題 21 解説

方針・初手

サイコロの具体的な目ではなく、奇数か偶数かだけを見ればよい。奇数・偶数はそれぞれ確率 $1/2$ で出るので、長さ $n$ の奇偶列はすべて確率 $2^{-n}$ である。

「終了していない」状態を数えると扱いやすい。終了していないとは、次の2条件を同時に満たすことである。

• 偶数の出た回数が $3$ 回以下である。
• 奇数が $3$ 回連続していない。

解法1

奇数を $O$、偶数を $E$ と書く。

（1） 6回以下で終了する確率

6回以下で終了する確率は、6回投げてもまだ終了していない確率の余事象で求める。

6回投げても終了していないためには、長さ $6$ の $O,E$ の列について、

• $E$ の個数が $3$ 個以下
• $O$ が $3$ 個連続しない

が必要十分である。

$E$ の個数を $k$ として数える。

$k=0$ のときは $OOOOOO$ であり、$O$ が3連続するので不可である。

$k=1$ のとき、$5$ 個の $O$ を $1$ 個の $E$ で2つの区間に分けることになる。各区間の $O$ の個数は高々 $2$ でなければならないが、合計で最大 $4$ 個までしか置けないので不可である。

$k=2$ のとき、$2$ 個の $E$ によって $4$ 個の $O$ が3つの区間に分かれる。各区間の $O$ の個数を $x_0,x_1,x_2$ とすると、

$$ x_0+x_1+x_2=4,\qquad 0\leqq x_i\leqq 2 $$

である。制限なしでは解は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{2}=15 $$

個である。このうち、どれか1つの $x_i$ が $3$ 以上であるものは、$i$ の選び方が $3$ 通りで、それぞれ

$$ x_i'=x_i-3 $$

とおけば残りの和が $1$ となるので $3$ 通りある。したがって除く個数は $9$ 個であり、

$$ 15-9=6 $$

個である。

$k=3$ のとき、$3$ 個の $E$ によって $3$ 個の $O$ が4つの区間に分かれる。各区間の $O$ の個数を $x_0,x_1,x_2,x_3$ とすると、

$$ x_0+x_1+x_2+x_3=3,\qquad 0\leqq x_i\leqq 2 $$

である。制限なしでは

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3}=20 $$

個である。このうち、どれか1つの $x_i$ が $3$ であるものは $4$ 通りである。よって

$$ 20-4=16 $$

個である。

したがって、6回投げても終了していない列の個数は

$$ 6+16=22 $$

個である。長さ $6$ の奇偶列は全部で $2^6=64$ 個なので、6回以下で終了する確率は

$$ 1-\frac{22}{64}=\frac{42}{64}=\frac{21}{32} $$

である。

（2） ちょうど7回で終了する確率

ちょうど7回で終了するには、6回目までは終了しておらず、7回目で初めて終了すればよい。

まず、7回目が偶数の場合を考える。このとき7回目で偶数が通算4回出て終了するので、6回目までに偶数がちょうど3回出ている必要がある。

先ほど数えたように、6回目まで終了しておらず、かつ偶数が3回出ている列は $16$ 個である。よって、この場合の長さ $7$ の列は $16$ 個である。

次に、7回目が奇数の場合を考える。このとき7回目で奇数が3連続になって終了するので、6回目まで終了しておらず、6回目までの末尾が $OO$ である必要がある。

末尾が $OO$ で、かつ6回目まで終了していない列を数える。6回目までの列は

$$ \boxed{\text{最初の3回}}\ EOO $$

の形でなければならない。4回目が $O$ だと、4,5,6回目が $OOO$ となってしまうからである。

最初の3回については、$OOO$ は奇数3連続で不可、$EEE$ は4回目の $E$ と合わせて偶数が通算4回となり不可である。それ以外の $2^3-2=6$ 個は可能である。

したがって、7回目が奇数の場合の列は $6$ 個である。

以上より、ちょうど7回で終了する長さ $7$ の列の個数は

$$ 16+6=22 $$

個である。長さ $7$ の奇偶列は全部で $2^7=128$ 個なので、求める確率は

$$ \frac{22}{128}=\frac{11}{64} $$

である。

解説

この問題では、サイコロの目そのものではなく、奇数か偶数かだけが終了条件に関係する。したがって、各回を確率 $1/2$ の $O,E$ に置き換えてよい。

（1） は「6回以下で終了」を直接数えるより、「6回投げても終了していない」列を数えて余事象を取る方が整理しやすい。

（2） は、6回目まで終了していない列のうち、7回目で終了条件に到達するものだけを数える。7回目が偶数なら「すでに偶数が3回」、7回目が奇数なら「末尾が奇数2連続」という条件に分けるのが要点である。

答え

(1)

$$ \frac{21}{32} $$

(2)

$$ \frac{11}{64} $$