数学A 確率 問題 22 解説

方針・初手

各回の勝者は $A,B,C$ のいずれか1人であり、それぞれの勝つ確率は

$$ P(A)=\frac12,\quad P(B)=\frac13,\quad P(C)=\frac16 $$

である。

先に2回勝った者が優勝なので、$C$ が優勝するには、$C$ が他の2人より先に2勝すればよい。ちょうど何回目で優勝するかによって、勝者の並びを直接数える。

解法1

まず、$C$ がちょうど2回目で優勝する場合を考える。

2回目で優勝するには、1回目も2回目も $C$ が勝つ必要がある。したがって

$$ P=\left(\frac16\right)^2=\frac1{36} $$

である。

次に、$C$ がちょうど3回目で優勝する場合を考える。

3回目に $C$ が優勝するには、3回目は $C$ が勝ち、1回目と2回目のうちちょうど1回だけ $C$ が勝っていればよい。残り1回は $A$ または $B$ が勝つ。

したがって、勝者の並びは

$$ CAC,\quad ACC,\quad CBC,\quad BCC $$

である。これらの確率の和を求めると、

$$ \begin{aligned} P &=2\cdot \frac16\left(\frac12+\frac13\right)\frac16\\ &=2\cdot \frac16\cdot \frac56\cdot \frac16\\ &=\frac5{108} \end{aligned} $$

である。

最後に、$C$ が優勝する確率を求める。

$C$ が優勝するのは、$C$ がちょうど2回目、3回目、または4回目で優勝する場合である。4回目まで考える必要があるのは、最初の3回で $A,B,C$ がそれぞれ1勝ずつすると、まだ誰も2勝していないからである。

4回目で $C$ が優勝するには、最初の3回で $A,B,C$ がそれぞれ1回ずつ勝ち、4回目で $C$ が勝てばよい。

最初の3回で $A,B,C$ が1回ずつ勝つ並びは $3!=6$ 通りであるから、その確率は

$$ 6\cdot \frac12\cdot \frac13\cdot \frac16=\frac16 $$

である。

したがって、4回目で $C$ が優勝する確率は

$$ \frac16\cdot \frac16=\frac1{36} $$

である。

よって、$C$ が優勝する確率は

$$ \begin{aligned} \frac1{36}+\frac5{108}+\frac1{36} &=\frac3{108}+\frac5{108}+\frac3{108}\\ &=\frac{11}{108} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「先に2回勝つ」という条件から、試合が終わる時点を分けて考えるのが自然である。

2回目で終わる場合は同じ人が2連勝した場合であり、3回目で終わる場合は最初の2回で勝者が異なり、3回目でどちらかが2勝目を得る場合である。

ただし、3人で行うため、最初の3回で $A,B,C$ が1回ずつ勝つ場合がある。このとき誰も2勝していないので、4回目まで続く。この4回目の場合を落とすと、$C$ が優勝する確率を小さく計算してしまう。

答え

(1)

$$ \frac1{36} $$

(2)

$$ \frac5{108} $$

(3)

$$ \frac{11}{108} $$