数学A 確率 問題 26 解説

方針・初手

積が $9$ の倍数になるには、積の中に素因数 $3$ が少なくとも $2$ 個含まれていればよい。

さいころの目 $1,2,3,4,5,6$ のうち、$3$ の倍数は $3,6$ の $2$ 個である。したがって、$3$ 回のうち少なくとも $2$ 回、目が $3$ または $6$ になればよい。

解法1

さいころを $1$ 回投げたとき、出た目が $3$ の倍数である確率は

$$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$

である。

また、出た目が $3$ の倍数でない確率は

$$ 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

である。

積が $9$ の倍数になるには、$3$ 回のうち $3$ の倍数が出る回数が $2$ 回以上であればよい。

(i)

$3$ の倍数がちょうど $2$ 回出る場合

$$ \begin{aligned} {}_3 \mathrm{C}_{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right) &= 3\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2}{3} \\ \frac{6}{27} \end{aligned} $$

(ii)

$3$ の倍数が $3$ 回出る場合

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{3}\right)^3 &= \frac{1}{27} \end{aligned} $$

よって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{6}{27}+\frac{1}{27} &= \frac{7}{27} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「積が $9$ の倍数」という条件を素因数 $3$ の個数で考えるのが重要である。

さいころの目には $9$ の倍数はないので、$1$ 回の目だけで素因数 $3$ を $2$ 個得ることはできない。したがって、$3$ または $6$ が少なくとも $2$ 回出る必要がある。

単に「積が $9$ の倍数」と考えて全通りを直接数えるよりも、「$3$ の倍数が何回出るか」に置き換えると、二項分布の形で処理できる。

答え

[①]

$$ \frac{7}{27} $$