数学A 確率 問題 25 解説

方針・初手

3つのサイコロは区別できるものとして考え、出方全体を順序付きの組で数える。全事象は $6^3$ 通りである。

「ちょうど2つが同じ目」とは、3つすべてが同じ場合を含まないことに注意する。

解法1

3つのサイコロの出方は全部で

$$ 6^3=216 $$

通りである。

まず、ちょうど2つのサイコロが同じ目になる場合を数える。

同じ目になる2つのサイコロの選び方は

$$ {}_3C_2=3 $$

通りである。

その2つのサイコロに出る目は $1$ から $6$ までの $6$ 通りであり、残り1つのサイコロはそれと異なる目でなければならないので $5$ 通りである。

したがって、ちょうど2つのサイコロが同じ目になる場合の数は

$$ {}_3C_2\cdot 6\cdot 5=3\cdot 6\cdot 5=90 $$

通りである。

よって、その確率は

$$ \frac{90}{216}=\frac{5}{12} $$

である。

次に、3つとも4以上の目になる確率を求める。

4以上の目は $4,5,6$ の3通りである。3つのサイコロそれぞれについて3通りずつあるから、条件を満たす場合の数は

$$ 3^3=27 $$

通りである。

したがって、その確率は

$$ \frac{27}{216}=\frac{1}{8} $$

である。

解説

「ちょうど2つが同じ目」は、3つとも同じ目になる場合を除外する条件である。そのため、「同じ目になる2個を選ぶ」「その共通の目を決める」「残り1個は異なる目を選ぶ」という順に数えると漏れなく重複なく数えられる。

一方、「3つとも4以上」は各サイコロが独立に $4,5,6$ のいずれかを出す条件なので、各サイコロについて $3$ 通りずつとして数えればよい。

答え

[④]

$$ \frac{5}{12} $$

[⑤]

$$ \frac{1}{8} $$