数学A 確率 問題 28 解説

方針・初手

白玉と赤玉の個数の比が $1:2$ なので、白玉を $x$ 個、赤玉を $2x$ 個とおく。

2個取り出したときに同じ色である確率が $\dfrac{1}{2}$ であることから $x$ を決め、その後、3個取り出したときに白玉と赤玉の両方が含まれる確率を求める。

解法1

白玉を $x$ 個、赤玉を $2x$ 個とすると、袋の中の玉の総数は $3x$ 個である。

2個の玉が同じ色であるのは、2個とも白玉である場合、または2個とも赤玉である場合である。したがって、その確率は

$$ \frac{{}*xC_2+{}*{2x}C_2}{{}_{3x}C_2} $$

である。

これが $\dfrac{1}{2}$ に等しいので、

$$ \frac{{}*xC_2+{}*{2x}C_2}{{}_{3x}C_2}=\frac{1}{2} $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{\dfrac{x(x-1)}{2}+\dfrac{2x(2x-1)}{2}}{\dfrac{3x(3x-1)}{2}} &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

となる。分子を整理すると、

$$ \frac{5x^2-3x}{9x^2-3x}=\frac{1}{2} $$

である。$x>0$ より分母は $0$ でないから、

$$ 2(5x^2-3x)=9x^2-3x $$

となる。整理して、

$$ 10x^2-6x=9x^2-3x $$

より、

$$ x^2-3x=0 $$

である。よって、

$$ x(x-3)=0 $$

となり、$x>0$ だから

$$ x=3 $$

である。

したがって、白玉は $3$ 個、赤玉は $6$ 個、全部で

$$ 3+6=9 $$

個である。よって、$[ア]=9$ である。

次に、この袋から3個の玉を取り出す。白玉と赤玉の両方が入っている場合は、次の2通りである。

（i） 白玉1個、赤玉2個

この場合の取り出し方は

$$ {}_3C_1{}_6C_2 $$

通りである。

（ii） 白玉2個、赤玉1個

この場合の取り出し方は

$$ {}_3C_2{}_6C_1 $$

通りである。

3個の玉の取り出し方全体は

$$ {}_9C_3 $$

通りであるから、求める確率は

$$ \frac{{}_3C_1{}_6C_2+{}_3C_2{}_6C_1}{{}_9C_3} $$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{3\cdot 15+3\cdot 6}{84} &= \frac{45+18}{84} \\ \frac{63}{84} \\ \frac{3}{4} \end{aligned} $$

である。よって、$[イ]=\dfrac{3}{4}$ である。

解説

比が与えられているので、まず個数を $x,2x$ とおくのが自然である。

2個取り出して同じ色になる確率は、「白白」または「赤赤」の場合を数えればよい。そこから $x$ が一意に決まり、袋の中の玉の総数が求まる。

3個取り出す確率では、「白玉と赤玉の両方が入る」を直接数えてもよいし、「すべて同じ色」の余事象を考えてもよい。今回は白玉が3個、赤玉が6個と小さいので、直接数える方法が分かりやすい。

答え

$[ア]$

$$ 9 $$

$[イ]$

$$ \frac{3}{4} $$