数学A 確率 問題 29 解説

方針・初手

「1個以上の不良品が含まれる確率」は、直接数えるよりも、余事象である「不良品が1個も含まれない確率」を引くのが自然である。

不良品は2個、良品は38個であるから、$n$ 個取り出すときに不良品が1個も含まれない確率は、38個の良品だけから $n$ 個選ぶ確率で考える。

解法1

(1)

40個の中から5個を同時に取り出す方法は、

$$ {}_{40}C_5 $$

通りである。

このうち、不良品が1個も含まれない場合は、38個の良品の中から5個を選ぶ場合なので、

$$ {}_{38}C_5 $$

通りである。

したがって、不良品が1個以上含まれる確率は、余事象を用いて

$$ 1-\frac{{}*{38}C_5}{{}*{40}C_5} $$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{{}*{38}C_5}{{}*{40}C_5} &= \frac{38\cdot37\cdot36\cdot35\cdot34}{40\cdot39\cdot38\cdot37\cdot36} \\ \frac{35\cdot34}{40\cdot39} \\ \frac{1190}{1560} \\ \frac{119}{156} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 1-\frac{119}{156} &= \frac{37}{156} \end{aligned} $$

となる。

よって、求める確率は

$$ \frac{37}{156} $$

である。

(2)

取り出す製品の個数を $n$ 個とする。

不良品が1個も含まれない確率は、

$$ \frac{{}*{38}C_n}{{}*{40}C_n} $$

である。

したがって、不良品が1個以上含まれる確率は、

$$ 1-\frac{{}*{38}C_n}{{}*{40}C_n} $$

である。

これが $\dfrac{1}{2}$ より大きくなればよいので、

$$ 1-\frac{{}*{38}C_n}{{}*{40}C_n}>\frac{1}{2} $$

すなわち

$$ \frac{{}*{38}C_n}{{}*{40}C_n}<\frac{1}{2} $$

を満たす最小の $n$ を求めればよい。

ここで、

$$ \begin{aligned} \frac{{}*{38}C_n}{{}*{40}C_n} &= \frac{(40-n)(39-n)}{40\cdot39} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \frac{(40-n)(39-n)}{40\cdot39}<\frac{1}{2} $$

となる。

両辺に $40\cdot39$ をかけると、

$$ (40-n)(39-n)<780 $$

である。

$n=11$ のとき、

$$ (40-11)(39-11)=29\cdot28=812 $$

となり、これは $780$ より大きいので条件を満たさない。

$n=12$ のとき、

$$ (40-12)(39-12)=28\cdot27=756 $$

となり、これは $780$ より小さいので条件を満たす。

したがって、求める最小個数は

$$ 12 $$

である。

解説

この問題では「少なくとも1個」という条件を直接数えると、1個だけ不良品を含む場合と2個とも不良品を含む場合を分ける必要がある。

一方で、「不良品が1個も含まれない」という余事象は、良品38個だけから選ぶ場合として一度で数えられる。そのため、余事象を使うのが最も自然である。

また、（2） では確率を毎回組合せのまま計算するよりも、

$$ \begin{aligned} \frac{{}*{38}C_n}{{}*{40}C_n} &= \frac{(40-n)(39-n)}{40\cdot39} \end{aligned} $$

と簡単な式にしてから不等式を解くと、最小値の判定がしやすい。

答え

(1)

$$ \frac{37}{156} $$

(2)

$$ 12\text{個} $$