数学A 確率 問題 32 解説

方針・初手

操作を1回行うと、選ばれたカードの色が反転するので、白いカードの枚数は必ず $1$ だけ増減する。

したがって、まず白いカードの枚数の偶奇に注目する。全て同じ色になるとは、白の枚数が $0$ 枚または全体の枚数に等しくなることである。

解法1

(1)

白いカードの枚数を考える。最初は白 $2$ 枚、黒 $2$ 枚なので、白の枚数は $2$ である。

操作を1回行うごとに白の枚数は $1$ だけ増減する。したがって、奇数回後には白の枚数は奇数になり、$0$ 枚または $4$ 枚にはならない。よって、$n$ が奇数のとき、求める確率は $0$ である。

次に $n$ が正の偶数であるとする。このとき、$n-1$ 回後は奇数回後なので、白の枚数は $1$ 枚または $3$ 枚である。

白 $1$ 枚、黒 $3$ 枚のとき、次の1回で全て黒にするには、ただ1枚の白を選べばよい。その確率は

$$ \frac{1}{4} $$

である。

また、白 $3$ 枚、黒 $1$ 枚のときも、ただ1枚の黒を選べば全て白になるので、その確率は

$$ \frac{1}{4} $$

である。

したがって、$n$ が正の偶数のとき、$n-1$ 回後の状態がどちらであっても、最後の1回で全て同じ色になる確率は

$$ \frac{1}{4} $$

である。

よって、求める確率は

$$ \begin{cases} 0 & (n \text{ が奇数})\\ \frac{1}{4} & (n \text{ が正の偶数}) \end{cases} $$

である。

(2)

白いカードの枚数を考える。最初は白 $3$ 枚、黒 $3$ 枚なので、白の枚数は $3$ である。

操作を1回行うごとに白の枚数は $1$ だけ増減する。したがって、偶数回後には白の枚数は奇数であり、$0$ 枚または $6$ 枚にはならない。よって、$n$ が偶数のとき、求める確率は $0$ である。

次に $n$ が奇数である場合を考える。$n=2t+1$ とおく。ただし $t=0,1,2,\ldots$ である。

$2t+1$ 回後に全て同じ色である確率を $p_t$ とする。奇数回後には白の枚数は偶数であるから、可能性は次の2種類に分けられる。

（i） 白の枚数が $0$ 枚または $6$ 枚である。

この確率が $p_t$ である。

（ii） 白の枚数が $2$ 枚または $4$ 枚である。

この確率は $1-p_t$ である。

ここから2回操作した後、再び全て同じ色になる確率を考える。

まず、すでに全て同じ色である場合を考える。例えば全て白であるとき、1回操作すると白 $5$ 枚、黒 $1$ 枚になる。次の1回で全て白に戻るには、ただ1枚の黒を選べばよいので、その確率は

$$ \frac{1}{6} $$

である。全て黒の場合も同様である。

次に、白 $2$ 枚、黒 $4$ 枚の場合を考える。2回後に全て黒になるには、まず白を選んで白 $1$ 枚、黒 $5$ 枚にし、次に残った白を選ぶ必要がある。その確率は

$$ \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{18} $$

である。白 $4$ 枚、黒 $2$ 枚の場合も同様である。

したがって、$p_t$ は次の漸化式を満たす。

$$ p_{t+1}=\frac{1}{6}p_t+\frac{1}{18}(1-p_t) $$

これを整理すると、

$$ p_{t+1}=\frac{1}{9}p_t+\frac{1}{18} $$

である。また、$1$ 回後には白 $2$ 枚、黒 $4$ 枚または白 $4$ 枚、黒 $2$ 枚になるだけで、全て同じ色にはならないから、

$$ p_0=0 $$

である。

漸化式

$$ p_{t+1}=\frac{1}{9}p_t+\frac{1}{18} $$

の定数解を求めると、$p=\frac{1}{9}p+\frac{1}{18}$ より

$$ p=\frac{1}{16} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} p_{t+1}-\frac{1}{16} &= \frac{1}{9}\left(p_t-\frac{1}{16}\right) \end{aligned} $$

となる。これと $p_0=0$ より、

$$ \begin{aligned} p_t-\frac{1}{16} &= \left(\frac{1}{9}\right)^t \left(0-\frac{1}{16}\right) \end{aligned} $$

であるから、

$$ p_t=\frac{1}{16}\left\{1-\left(\frac{1}{9}\right)^t\right\} $$

を得る。

$n=2t+1$ であるから、$t=\frac{n-1}{2}$ である。よって、$n$ が奇数のとき、求める確率は

$$ \frac{1}{16}\left\{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{n-1}{2}}\right\} $$

である。

解説

この問題では、白の枚数を直接すべて追うよりも、偶奇と対称性を使って状態をまとめるのが有効である。

特に、操作1回で白の枚数は必ず $1$ だけ増減するため、全て同色になれる回数の偶奇が最初に決まる。これにより、(1)では奇数回を即座に除外でき、(2)では偶数回を即座に除外できる。

(2)では、奇数回後の状態を「全て同色」と「白2枚または4枚」の2種類にまとめることで、漸化式が1本になる。

答え

(1)

$$ \begin{cases} 0 & (n \text{ が奇数})\\ \frac{1}{4} & (n \text{ が正の偶数}) \end{cases} $$

(2)

$$ \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数})\\ \frac{1}{16}\left\{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{n-1}{2}}\right\} & (n \text{ が奇数}) \end{cases} $$