数学A 確率 問題 33 解説

方針・初手

4回の出目を順序つきで考えると、全事象は $6^4$ 通りである。

最小値に関する条件は、「使えない目」を除いた個数を数えるのが自然である。特に「最小値が $1$」は「少なくとも1回は $1$ が出る」と言い換えられる。

解法1

全事象は

$$ 6^4=1296 $$

通りである。

（1） 最小値が $1$ であるとは、4回のうち少なくとも1回は $1$ が出るということである。

その余事象は「$1$ が1回も出ない」ことであり、このとき各回の出目は $2,3,4,5,6$ の5通りであるから、

$$ 5^4=625 $$

通りである。

したがって、最小値が $1$ である場合の数は

$$ 6^4-5^4=1296-625=671 $$

である。よって求める確率は

$$ \frac{671}{1296} $$

である。

（2） 最小値が $1$ で、かつ最大値が $6$ であるとは、4回の出目の中に $1$ と $6$ がどちらも少なくとも1回ずつ現れるということである。

全事象 $6^4$ 通りから、「$1$ が出ない場合」と「$6$ が出ない場合」を除く。ただし、「$1$ も $6$ も出ない場合」は2回除かれるので、1回戻す。

$1$ が出ない場合は $5^4$ 通り、$6$ が出ない場合も $5^4$ 通りである。また、$1$ も $6$ も出ない場合は、各回の出目が $2,3,4,5$ の4通りなので、

$$ 4^4=256 $$

通りである。

したがって、条件を満たす場合の数は

$$ 6^4-2\cdot 5^4+4^4 =1296-1250+256 =302 $$

である。

よって求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{302}{1296} &= \frac{151}{648} \end{aligned} $$

である。

解法2

（2） について、$1$ と $6$ の出る回数で数えてもよい。

$1$ が $a$ 回、$6$ が $b$ 回、残りが $2,3,4,5$ のいずれかであるとする。ただし $a\geq 1,\ b\geq 1,\ a+b\leq 4$ である。

残りの回数を $c=4-a-b$ とすると、その場合の数は

$$ \frac{4!}{a!b!c!}\cdot 4^c $$

である。

これを $a,b\geq 1$ について足す。

(i)

$c=0$、つまり $a+b=4$ のとき、

$$ \frac{4!}{1!3!}+\frac{4!}{2!2!}+\frac{4!}{3!1!} =4+6+4=14 $$

である。

(ii)

$c=1$、つまり $a+b=3$ のとき、

$$ \frac{4!}{1!2!1!}\cdot 4+\frac{4!}{2!1!1!}\cdot 4 =48+48=96 $$

である。

(iii)

$c=2$、つまり $a+b=2$ のとき、$a=b=1$ であり、

$$ \frac{4!}{1!1!2!}\cdot 4^2 =12\cdot 16 =192 $$

である。

したがって、条件を満たす場合の数は

$$ 14+96+192=302 $$

である。よって確率は

$$ \begin{aligned} \frac{302}{1296} &= \frac{151}{648} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、4回の出目を順序つきで数えることが基本である。

（1） は「最小値が $1$」を直接数えるより、「$1$ が1回も出ない場合」を除く方が簡単である。

（2） は「最小値が $1$ かつ最大値が $6$」を「$1$ と $6$ がともに少なくとも1回出る」と言い換えるのが重要である。この形にすると、包除原理で自然に数えられる。

答え

(1)

$$ \frac{671}{1296} $$

(2)

$$ \frac{151}{648} $$