数学A 確率 問題 37 解説

方針・初手

整数の和が $3$ の倍数になるかどうかは、各整数を $3$ で割った余りだけで決まる。

$1$ から $20$ までの整数を $3$ で割った余りで分類すると、

$$ \begin{array}{c|c|c} \text{余り} & \text{整数} & \text{個数} \\ \hline 0 & 3,6,9,12,15,18 & 6 \\ 1 & 1,4,7,10,13,16,19 & 7 \\ 2 & 2,5,8,11,14,17,20 & 7 \end{array} $$

この分類を使って、和が $3$ の倍数になる組合せを数える。

解法1

（1） 2枚のカードの整数の和が $3$ の倍数になるのは、余りの組が

$$ (0,0),\quad (1,2) $$

となる場合である。

まず、余り $0$ のカードを2枚選ぶ場合は、

$$ {}_6\mathrm{C}_{2}=15 $$

通りである。

次に、余り $1$ のカードと余り $2$ のカードを1枚ずつ選ぶ場合は、

$$ 7\cdot 7=49 $$

通りである。

したがって、和が $3$ の倍数になる取り出し方は

$$ 15+49=64 $$

通りである。

一方、20枚から2枚を同時に取り出す総数は

$$ {}_{20}\mathrm{C}_{2}=190 $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{64}{190}=\frac{32}{95} $$

である。

（2） 17枚を直接数えるよりも、取り出さなかった3枚に注目する。

$1$ から $20$ までの整数の和は

$$ 1+2+\cdots+20=\frac{20\cdot 21}{2}=210 $$

であり、これは $3$ の倍数である。

したがって、取り出した17枚の整数の和が $3$ の倍数になることと、取り出さなかった3枚の整数の和が $3$ の倍数になることは同値である。

よって、3枚のカードの整数の和が $3$ の倍数になる場合を数えればよい。

3枚の余りの組で、和が $3$ の倍数になるものは

$$ (0,0,0),\quad (1,1,1),\quad (2,2,2),\quad (0,1,2) $$

である。

それぞれの場合の数は、

$$ \begin{aligned} (0,0,0)&:\ {}_6\mathrm{C}_{3}=20,\\ (1,1,1)&:\ {}_7\mathrm{C}_{3}=35,\\ (2,2,2)&:\ {}_7\mathrm{C}_{3}=35,\\ (0,1,2)&:\ 6\cdot 7\cdot 7=294 \end{aligned} $$

である。

したがって、取り出さなかった3枚の和が $3$ の倍数になる場合の数は

$$ 20+35+35+294=384 $$

通りである。

また、20枚から3枚を選ぶ総数は

$$ {}_{20}\mathrm{C}_{3}=1140 $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{384}{1140}=\frac{32}{95} $$

である。

解説

この問題では、整数そのものではなく、$3$ で割った余りに注目するのが基本である。

特に （2） では、17枚を直接扱うと場合分けが複雑になる。全体の和 $210$ が $3$ の倍数であることから、選ばなかった3枚の和を考えると、（1） と同じような余りの分類で処理できる。

同時に取り出すので順序は区別しない。そのため、全体の場合の数は組合せで数える。

答え

(1)

$$ \frac{32}{95} $$

(2)

$$ \frac{32}{95} $$