数学A 確率 問題 36 解説

方針・初手

通路 $G,H$ の開閉状態で場合分けする。$A,B,C,D,E,F$ はすべて確率 $p$ で開くので、$G,H$ の状態を固定すれば、直列・並列の組み合わせとして処理できる。

解法1

$G,H$ の開閉状態を固定して考える。

(1)

$q=0,\ r=0$ のとき

このとき $G,H$ はともに開かないので、上の経路 $A \to B \to C$ と下の経路 $D \to E \to F$ のどちらか一方がすべて開いていればよい。

上の経路がすべて開く確率は $p^3$、下の経路がすべて開く確率も $p^3$ である。したがって、少なくとも一方が開く確率は

$$ 1-(1-p^3)^2 =2p^3-p^6 $$

である。

(2)

$q=1,\ r=0$ のとき

このとき $G$ は必ず開き、$H$ は開かない。$G$ によって、$A$ の右端と $D$ の右端がつながる。

まず、$X$ から $G$ のある縦の接続点まで行くには、$A,D$ の少なくとも一方が開けばよい。その確率は

$$ 1-(1-p)^2=2p-p^2=p(2-p) $$

である。

次に、その接続点から $Y$ まで行くには、上側の $B,C$ がともに開くか、下側の $E,F$ がともに開けばよい。したがって、その確率は

$$ 1-(1-p^2)^2=2p^2-p^4=p^2(2-p^2) $$

である。

使っている通路が互いに重ならないので、これらを掛けて

$$ p(2-p)\cdot p^2(2-p^2) =p^3(2-p)(2-p^2) $$

となる。

(3)

$q=1,\ r=1$ のとき

このとき $G,H$ はともに必ず開く。すると、横方向には次の3つの区間が直列につながっていると見られる。

$A,D$ の並列、$B,E$ の並列、$C,F$ の並列である。

各区間で少なくとも一方が開く確率は

$$ 1-(1-p)^2=2p-p^2=p(2-p) $$

である。

3つの区間は独立なので、求める確率は

$$ {p(2-p)}^3 =p^3(2-p)^3 $$

である。

(4)

$0<q<1,\ 0<r<1$ のとき

$G,H$ の開閉で場合分けする。

$G,H$ がともに開かない確率は $(1-q)(1-r)$ であり、そのときの接続確率は （1） より

$$ 2p^3-p^6=p^3(2-p^3) $$

である。

$G$ だけが開く確率は $q(1-r)$ であり、そのときの接続確率は （2） より

$$ p^3(2-p)(2-p^2) $$

である。

$H$ だけが開く場合も、図を左右に反転して考えれば同じ確率になる。したがって、その寄与は

$$ (1-q)r \cdot p^3(2-p)(2-p^2) $$

である。

$G,H$ がともに開く確率は $qr$ であり、そのときの接続確率は （3） より

$$ p^3(2-p)^3 $$

である。

以上を足し合わせると、求める確率は

$$ (1-q)(1-r)p^3(2-p^3) +{q(1-r)+(1-q)r}p^3(2-p)(2-p^2) +qrp^3(2-p)^3 $$

である。

整理すると

$$ p^3\left\{(1-q)(1-r)(2-p^3)+(q+r-2qr)(2-p)(2-p^2)+qr(2-p)^3\right\} $$

となる。

解説

この問題は、通路全体を一気に数え上げようとすると複雑になる。重要なのは、$G,H$ の開閉を先に固定することで、残りの構造を直列・並列の組み合わせに変えることである。

特に （2） では、$G$ が開くことで左側の $A,D$ が並列になり、その後ろに $BC,EF$ の並列が続く構造になる。また （3） では、$G,H$ がともに開くことで、$A,D$、$B,E$、$C,F$ の3つの並列ブロックが直列につながる形になる。

一般の場合 （4） は、$G,H$ の4通りの状態で条件付き確率を足し合わせればよい。$G$ だけが開く場合と $H$ だけが開く場合は、図の左右対称性から同じ接続確率になる。

答え

(1)

$$ 2p^3-p^6 $$

(2)

$$ p^3(2-p)(2-p^2) $$

(3)

$$ p^3(2-p)^3 $$

(4)

$$ p^3\left\{(1-q)(1-r)(2-p^3)+(q+r-2qr)(2-p)(2-p^2)+qr(2-p)^3\right\} $$