数学A 確率 問題 41 解説

方針・初手

各回の移動を、正の向きへの移動を $+1$、負の向きへの移動を $-1$ と考える。したがって $X(n)$ は $n$ 回の移動の和であり、正の向きに進んだ回数を数えればよい。

(3) は「最終位置」ではなく「途中で一度も $0$ にならない」という条件なので、単に $X(6)\neq 0$ とするのは誤りである。

解法1

正の向きに進んだ回数を $a$、負の向きに進んだ回数を $b$ とする。このとき

$$ a+b=n,\qquad X(n)=a-b $$

である。

(1)

$X(8)=2$ となるには

$$ a+b=8,\qquad a-b=2 $$

を満たせばよい。これを解くと

$$ a=5,\qquad b=3 $$

である。

したがって、8回のうち正の向きに進む5回を選べばよいから、

$$ P(X(8)=2)={}_{8}\mathrm{C}_{5}\left(\frac{1}{2}\right)^8 =\frac{56}{256} =\frac{7}{32} $$

である。

(2)

$7$ 回移動したとき、正の向きに進んだ回数を $a$ とすると

$$ X(7)=a-(7-a)=2a-7 $$

である。よって

$$ |X(7)|=|2a-7| $$

となる。

$a=0,1,\dots,7$ について調べると、期待値は

$$ \begin{aligned} E(|X(7)|) &=\sum_{a=0}^{7}|2a-7|{}_{7}\mathrm{C}_{a}\left(\frac{1}{2}\right)^7 \\ &=\frac{1}{128}\left\{ 7{}_{7}\mathrm{C}_{0} +5{}_{7}\mathrm{C}_{1} +3{}_{7}\mathrm{C}_{2} +1{}_{7}\mathrm{C}_{3} +1{}_{7}\mathrm{C}_{4} +3{}_{7}\mathrm{C}_{5} +5{}_{7}\mathrm{C}_{6} +7{}_{7}\mathrm{C}_{7} \right\}. \end{aligned} $$

ここで

$$ {}_{7}\mathrm{C}_{0}=1,\quad {}_{7}\mathrm{C}_{1}=7,\quad {}_{7}\mathrm{C}_{2}=21,\quad {}_{7}\mathrm{C}_{3}=35 $$

であり、対称性を用いると

$$ \begin{aligned} E(|X(7)|) &=\frac{1}{128}{2\cdot 7\cdot 1+2\cdot 5\cdot 7+2\cdot 3\cdot 21+2\cdot 1\cdot 35} \\ &=\frac{1}{128}(14+70+126+70) \\ &=\frac{280}{128} \\ &=\frac{35}{16}. \end{aligned} $$

したがって

$$ E(|X(7)|)=\frac{35}{16} $$

である。

（3） 最初の移動後、点 $P$ は $1$ または $-1$ にある。対称性により、最初に $1$ に進んだ場合を数え、その2倍を考えればよい。

最初に $1$ に進んだ場合、以後6回目の移動終了まで一度も $O$ に戻らないためには、各時点で座標が常に正でなければならない。

まず1回目の移動後は座標 $1$ である。残り5回の移動で、座標が $0$ にならないように進む通り数を数える。

時刻ごとの可能な座標と通り数を追う。

1回目終了時：

$$ 1:1 $$

2回目終了時：

$$ 2:1 $$

3回目終了時：

$$ 1:1,\quad 3:1 $$

4回目終了時：

$$ 2:2,\quad 4:1 $$

5回目終了時：

$$ 1:2,\quad 3:3,\quad 5:1 $$

6回目終了時：

$$ 2:5,\quad 4:4,\quad 6:1 $$

したがって、最初に正の向きに進み、その後も一度も $0$ に戻らない通り数は

$$ 5+4+1=10 $$

通りである。

最初に負の向きに進む場合も同様に $10$ 通りあるので、条件を満たす全通り数は

$$ 10+10=20 $$

通りである。

6回の移動の全通り数は

$$ 2^6=64 $$

であるから、求める確率は

$$ \frac{20}{64}=\frac{5}{16} $$

である。

解説

(1) は二項分布の基本問題であり、「正の向きに何回進んだか」を決めればよい。

(2) は $X(7)$ の期待値ではなく $|X(7)|$ の期待値である点に注意する。単に対称性から $E(X(7))=0$ としてはいけない。絶対値を取るため、原点からの距離の平均を計算する問題になる。

(3) は途中経過に条件があるため、$X(6)\neq 0$ だけでは不十分である。例えば途中で一度 $0$ に戻ってから、6回目終了時に $2$ にいる場合は条件を満たさない。したがって、各時点で座標が $0$ にならないように通り数を数える必要がある。

答え

(1)

$$ \frac{7}{32} $$

(2)

$$ \frac{35}{16} $$

(3)

$$ \frac{5}{16} $$